Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmĐồng thau2,5 mP = 80 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 80 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 25 mmĐồng thau1,5 mØ 16 mmĐồng thau1,5 mP = 70 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 70 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
d1​ = 50 mmd2​ = 30 mmT = 1000 N·mABC0,5 m0,5 m

Một trục đặc thép có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 50 mm và chiều dài 0,5 m; đoạn BC có đường kính 30 mm và chiều dài 0,5 m. Một mô-men xoắn 1000 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φC của đầu C, theo độ.

T = 1000 N·md1 = 50 mm, L1 = 0,5 md2 = 30 mm, L2 = 0,5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 40 mm, di​ = 24 mm

Một trục rỗng truyền 10 kW ở 750 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 10 kWN = 750 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 20 kNP2​ = 65 kNAB1 m1,5 m1,5 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 4 mP1 = 20 kN tại 1 mP2 = 65 kN tại 2,5 m
Mmax = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
25 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

25 kN @ 0 m25 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
B = 180H = 300t = 18xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện hộp chữ nhật rỗng có chiều rộng ngoài B = 180 mm, chiều cao ngoài H = 300 mm và chiều dày thành đều t = 18 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

B = 180 mmH = 300 mmt = 18 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1801514014xM = 40 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 40 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 140 mmM = 40 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −40σy​ = 20τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = −40 MPaσy = 20 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 40σy​ = 70τxy​ = −60MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 40 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 40 MPaσy = 70 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 5 kN/mδL = 4 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 2 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 135 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 135 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 135 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 17,68 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 80·1000/113,1 = 707,4 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 707,4/100000 = 0,007074 = 7074 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,007074·2500 mm = 17,68 mm

Đáp số

δ = 17,68 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 348,2 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 142,6 MPa
σ2 = 348,2 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 348,2 MPa

Đáp số

σmax = 348,2 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φC = 5,087 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 1 × 10⁶·500/(80000·613592) = 0,01019 rad
φBC = 1 × 10⁶·500/(80000·79522) = 0,0786 rad

Tổng góc xoắn

φC = 0,01019 + 0,0786 = 0,08878 rad = 5,087°

Đáp số

φC = 5,087°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 11,64 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 127324·20/218755 = 11,64 MPa

Đáp số

τmax = 11,64 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 68,44 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 65·2,5
RB = 182,5/4 = 45,63 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 45,63 = 39,38 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·1 = 39,38·1 = 39,38 kN·m
dưới P2: M = RB·1,5 = 45,63·1,5 = 68,44 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 68,44 kN·m (dưới P2)

Đáp số

Mmax = 68,44 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 16,67 kN, R2 = 33,33 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −25, MC = −33,33, MD = −41,67, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −50 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 107,4 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

b = 144 mm, h = 264 mm
A = BH − bh = 180·300 − 144·264 = 15984 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1,842 × 10⁸ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,842 × 10⁸/15984) = 107,4 mm

Đáp số

r = 107,4 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 159,2 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 140 + 15/2 = 147,5 mm
bụng: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2700·147,5 + 1960·70)/4660 = 114,9 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·15³/12 + 2700·(147,5 − 114,9)² = 2,919 × 10⁶ mm⁴
bụng: 14·140³/12 + 1960·(70 − 114,9)² = 7,153 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,919 × 10⁶ + 7,153 × 10⁶ = 1,007 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 155 − 114,9 = 40,1 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·40,1/1,007 × 10⁷ = 159,2 MPa

Đáp số

σtrên = 159,2 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 80,78 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·10, −40 − 20) = 161,6°

Góc trên phần tử

θp = 80,78°

Đáp số

θp = 80,78°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 115 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 55 + −15·0 + −60·−1 = 115 MPa

Đáp số

σθ = 115 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 63,49 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 63,49 mm

Đáp số

δ = 63,49 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 16,74 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,674 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 16,74 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 16,74 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 9,922 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·5000 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Đáp số

Pcr = 9,922 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 52,91 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 52,91 mm

Đáp số

d = 52,91 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 113,4, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials