Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12400 mm300 mmØ40Ø60δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 60 mm, chiều dài 300 mm, E = 110 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
100 kN12400 mm400 mmØ30Ø40σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 100 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = 40, di​ = 30 mmT = 1000 N·mL = 1,5 m

Một trục rỗng đồng thau (đường kính ngoài 40 mm, đường kính trong 30 mm, chiều dài 1,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 1000 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 1000 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 100 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
10 kN/m10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

10 kN @ 4 m10 kN/m, 2–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 5 kN/mP = 25 kNABmặt cắt6 m4 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 6 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mP = 25 kN tại 6 mw = 5 kN/m từ 0 đến 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
280202208xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100 mm240 mm72 mm40 × 30xIx​ = ?

Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 40 mm và cao 30 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 72 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 240 mmlỗ khoét: 40 × 30 mmtâm lỗ: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 40σy​ = 90τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 40 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 40 MPaσy = 90 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −60σy​ = −70τxy​ = 50MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 275 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = −60 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPaσY = 275 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 2 kN/mδL = 2,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 3 kN/mABδ3,5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm
hreq = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 m20 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 60 kNL = 3 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 60 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 60 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 195,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9,646 × 10⁻⁷ mm/N

Tải

P = 0,5/2,556 × 10⁻⁶ = 195609 N = 195,6 kN

Đáp số

P = 195,6 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 39,34 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 100000·345575/699004 = 49438 N

Ứng suất

σ2 = 49438/1257 = 39,34 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 39,34 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 12,83 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Góc xoắn

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(39000·171806) = 0,2239 rad
φ = 0,2239·180/π = 12,83°

Đáp số

φ = 12,83°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 39,32 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39,32 mm

Đáp số

d = 39,32 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 48,33 kN, R2 = 61,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 96,67, MC = 173,3, MD = 190 kN·m, ME = 166,7, MF = 103,3, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 190 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 120 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·6 + 5·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 40 = 35 kN
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​ = 35RB​ = 40mặt cắt6 m4 m

Cắt tại x = 6 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 35·6 − 5·6·3 = 120 kN·m

Đáp số

Mx = 120 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 26,57 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
bụng: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·230 + 1760·110)/7360 = 201,3 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·20³/12 + 5600·(230 − 201,3)² = 4,798 × 10⁶ mm⁴
bụng: 8·220³/12 + 1760·(110 − 201,3)² = 2,177 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,798 × 10⁶ + 2,177 × 10⁷ = 2,657 × 10⁷ mm⁴ = 26,57 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 26,57 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 112,2 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·120 − 1200·72)/(24000 − 1200) = 122,5 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·240³/12 + 24000·−2,526² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

40·30³/12 + 1200·−50,53² = 3,153 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 112,2 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 112,2 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 79,1 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·10, 40 − 90) = 158,2°

Góc trên phần tử

θp = 79,1°

Đáp số

θp = 79,1°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,386

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = −65 MPa, R = 50,25 MPa
σ1 = −14,75 MPa, σ2 = −115,2 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 115,2 MPa
n = 275/115,2 = 2,386

Đáp số

n = 2,386

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 10,88 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 10,88 mm

Đáp số

δmax = 10,88 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 187,4 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9,722) = 5,481 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,481 × 10⁷/100)1/3 = 187,4 mm

Đáp số

hreq = 187,4 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 3,685 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2500² = 3685 N = 3,685 kN

Đáp số

Pcr = 3,685 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 63,94 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,94 mm

Đáp số

d = 63,94 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 187,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials