Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmĐồng thau3 mP = 20 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 20 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø20100 GPaØ100/70800 mm

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 70 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaống: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = ?T = 100 N·m

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 100 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

T = 100 N·mdi/do = 0,75τallow = 60 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 20 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 20 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
30 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

30 kN @ 4 m60 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mP = 45 kNABmặt cắt1 m6 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 7 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mP = 45 kN tại 1 mw = 2 kN/m từ 0 đến 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
220440248xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 220 mm và dày 24 mm, chiều cao tổng thể 440 mm và bụng dày 8 mm. Tìm mô-đun chống uốn đàn hồi Sx của nó khi uốn quanh trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 220 mmH = 440 mmtf = 24 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2802510018xM võng xuốngkích thước tính bằng mm

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 35 MPa khi kéo và 90 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 100 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −80σy​ = 100τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = −80 MPaσy = 100 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 70σy​ = 90τxy​ = −20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 70 MPaσy = 90 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 5 kN/mδL = 1,5 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 4 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 115 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 115 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 115 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,8488 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 28,29/100000 = 0,0002829 = 282,9 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0002829·3000 mm = 0,8488 mm

Đáp số

δ = 0,8488 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 278 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·4006 = 4,634 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0006, 0,0007) = 0,0006 (thép)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0006·4,634 × 10⁸ = 278031 N = 278 kN

Đáp số

Pmax = 278 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: do = 23,16 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0,6836)) = 23,16 mm
di = 0,75·23,16 = 17,37 mm

Đáp số

do = 23,16 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 20,4 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 18,9 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18,9 mm

Đáp số

d = 18,9 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 50 kN, R2 = 40 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 100, MC = 200, MD = 240 kN·m, ME = 160, MF = 80, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 240 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 12,63 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·1 + 2·8·4
RB = 109/8 = 13,63 kN
ΣFy = 0: RA = 61 − 13,63 = 47,38 kN
w = 2 kN/mP = 45 kNABRA​ = 47,38RB​ = 13,63mặt cắt1 m6 m1 m

Cắt tại x = 7 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 47,38·7 − 45·(7 − 1) − 2·7·3,5 = 12,63 kN·m

Đáp số

Mx = 12,63 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Sx = 2262 × 10³ mm³

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 440 − 2·24 = 392 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (220·440³ − 212·392³)/12
Ix = 4,975 × 10⁸ mm⁴

Mômen chống uốn của mặt cắt

c = H/2 = 220 mm
Sx = I/c = 4,975 × 10⁸/220
Sx = 2,262 × 10⁶ mm³ = 2262 × 10³ mm³

Đáp số

Sx = 2262 × 10³ mm³
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Mallow = 2,618 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (7000·112,5 + 1800·50)/8800 = 99,72 mm
cạnh trên: c = 125 − 99,72 = 25,28 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 280·25³/12 + 7000·12,78² + 18·100³/12 + 1800·49,72² = 7,458 × 10⁶ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 90·7,458 × 10⁶/25,28 = 26,55 kN·m
cạnh dưới: M = 35·7,458 × 10⁶/99,72 = 2,618 kN·m

Giá trị quyết định

Mallow = min = 2,618 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

Mallow = 2,618 kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 90,55 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((−80 − 100)/2)² + 10²) = 90,55 MPa

Đáp số

τmax = 90,55 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 67,68 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 80 + −10·−0,5 + −20·0,866 = 67,68 MPa

Đáp số

σθ = 67,68 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 23,97 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1,32 × 10¹¹) = 23,97 mm

Đáp số

δ = 23,97 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 46,02 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 16,82 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Đáp số

Pcr = 16,82 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 44,51 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 44,51 mm

Đáp số

d = 44,51 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 94,36, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials