Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 90 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 100 kW ở 3000 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,8 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 1,5 m. Tìm mô-men uốn M_A tại ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 2 mP = 65 kN tại 1,5 mw = 4 kN/m từ 0 đến 2 m

M_A = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

30 kN @ 12 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 25 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_s, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 60 mm chịu một lực nén dọc trục 50 kN cùng với mô-men xoắn 750 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ₁.

d = 60 mmF = −50 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 21 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 140 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 140 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 3342 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/100000 = 0,003342 = 3342 µε

Đáp số

ε = 3342 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,534 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·1000/200000 = 0,6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286,5·2000/117000 = 4,897 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,534 mm

Đáp số

δ = 5,534 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,5845 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(39000·251327) = 0,0102 rad

φ = 0,0102·180/π = 0,5845°

Đáp số

φ = 0,5845°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 38,01 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·50·0,5904)) = 38,01 mm

d_i = 0,8·38,01 = 30,41 mm

Đáp số

d_o = 38,01 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 31,89 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_A = −105,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −65·1,5 = −97,5 kN·m

w: −4·2²/2 = −8 kN·m

M_A = −97,5 − 8 = −105,5 kN·m

Đáp số

M_A = −105,5 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 15 kN, R₂ = 75 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = −30, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = −120 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 65,02 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

bụng: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·275 + 3120·130)/10920 = 233,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 260·30³/12 + 7800·(275 − 233,6)² = 1,397 × 10⁷ mm⁴

bụng: 12·260³/12 + 3120·(130 − 233,6)² = 5,104 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,397 × 10⁷ + 5,104 × 10⁷ = 6,502 × 10⁷ mm⁴ = 65,02 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 65,02 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 60,94 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

bụng: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·205 + 3600·100)/6000 = 142 mm

Định lý trục song song

cánh: 240·10³/12 + 2400·(205 − 142)² = 9,546 × 10⁶ mm⁴

bụng: 18·200³/12 + 3600·(100 − 142)² = 1,835 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,546 × 10⁶ + 1,835 × 10⁷ = 2,79 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 210 − 142 = 68 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·68/2,79 × 10⁷ = 60,94 MPa

Đáp số

σ_trên = 60,94 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_s = −50,15 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θ_s = −10/55,9 = −0,1789, sin 2θ_s = −55/55,9 = −0,9839

2θ_s = atan2(−55, −10) = −100,3°

Góc trên phần tử

θ_s = −50,15°

kiểm tra: θ_s − θ_p = −50,15 − (−5,152) = −45°

Đáp số

θ_s = −50,15°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ₁ = 10,93 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −50000/(π·60²/4) = −50000/2827 = −17,68 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −8,842 MPa

R = √((−8,842)² + 17,68²) = 19,77 MPa

σ₁ = C + R = 10,93 MPa

σ₂ = C − R = −28,61 MPa

Đáp số

σ₁ = 10,93 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 10,1 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 10,1 mm

Đáp số

δ_max = 10,1 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 5,801 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 21000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·3000³/(48·2,4 × 10¹²) = 4,922 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 0,8789 mm

Cộng lại

δ_max = 4,922 + 0,8789 = 5,801 mm

Đáp số

δ_max = 5,801 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 25,7 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·4000 = 8000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/8000² = 25702 N = 25,7 kN

Đáp số

P_cr = 25,7 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 58,31 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,31 mm

Đáp số

d = 58,31 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 137,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials