Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12400 mm200 mmØ30Ø30δ = 0,25 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 30 mm, chiều dài 200 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,25 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
30 kN12500 mm400 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 30 mm, chiều dài 400 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 30 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 100 N·mL = 3 m

Một trục đồng thau đặc dài 3 m chịu mô-men xoắn 100 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 2°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 100 N·mL = 3 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
d = 30 mmT0​ = 400 N·mACBa = 2 mb = 0,5 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 30 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 400 N·m đặt tại C, cách A 2 m và cách B 0,5 m. Tìm mô-men phản lực TA tại tường A.

d = 30 mmT0 = 400 N·ma = 2 mb = 0,5 m
TA = N·m
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
40 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

40 kN @ 2 m10 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 8 kN/mAB3 m7 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm khoảng cách x0 từ A đến mặt cắt có mô-men uốn lớn nhất.

L = 10 mw = 8 kN/m từ 0 đến 3 m
x0 = m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
3001526016xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
180202408xM = 20 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 20 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 240 mmM = 20 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 60σy​ = −30MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 60 MPa và σᵧ = −30 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 95 MPa?

σx = 60 MPaσy = −30 MPaσ1 = 95 MPa
τxy = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 140σy​ = 60τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 35° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 140 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 6 kN/mP = 13 kNABδ2,5 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 10 kNL = 6 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 10 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 10 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 36,38 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,25/6,871 × 10⁻⁶ = 36382 N = 36,38 kN

Đáp số

P = 36,38 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 18,19 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 120000·706,9/400 = 212058 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 30000·212058/494801 = 12857 N

Ứng suất

σ2 = 12857/706,9 = 18,19 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 18,19 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 38,71 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·3000/(39000·0,03491) = 220368 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 38,71 mm

Đáp số

d = 38,71 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: TA = 80 N·m

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·0,5/2,5 = 80 N·m
TB = 400·2/2,5 = 320 N·m

Đáp số

TA = 80 N·m
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: C (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 30 kN, R2 = 20 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 30, MC = 60 kN·m, MD = 50, ME = 40, MF = 20, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu C: MC = 60 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: x0 = 2,55 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, đặt tại x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·3·1,5
RB = 36/10 = 3,6 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 3,6 = 20,4 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng RA, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 20,4/8 = 2,55 m

Đáp số

x0 = 2,55 m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 64,39 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 260 + 15/2 = 267,5 mm
bụng: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·267,5 + 4160·130)/8660 = 201,4 mm

Định lý trục song song

cánh: 300·15³/12 + 4500·(267,5 − 201,4)² = 1,972 × 10⁷ mm⁴
bụng: 16·260³/12 + 4160·(130 − 201,4)² = 4,467 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,972 × 10⁷ + 4,467 × 10⁷ = 6,439 × 10⁷ mm⁴ = 64,39 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 64,39 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 36,21 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
bụng: Aw = 8·240 = 1920 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·250 + 1920·120)/5520 = 204,8 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·20³/12 + 3600·(250 − 204,8)² = 7,481 × 10⁶ mm⁴
bụng: 8·240³/12 + 1920·(120 − 204,8)² = 2,302 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,481 × 10⁶ + 2,302 × 10⁷ = 3,05 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 260 − 204,8 = 55,22 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·55,22/3,05 × 10⁷ = 36,21 MPa

Đáp số

σtrên = 36,21 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 66,14 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (60 + (−30))/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 95 − 15 = 80 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 45²) = 66,14 MPa

Đáp số

τxy = 66,14 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 104,3 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 100 + 40·0,342 + −10·0,9397 = 104,3 MPa

Đáp số

σθ = 104,3 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 40,42 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 13000·2500³/(3·2,4 × 10¹²) = 28,21 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 12,21 mm

Cộng lại

δ = 28,21 + 12,21 = 40,42 mm

Đáp số

δ = 40,42 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16,67) = 5,523 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 19,69 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2100² = 19687 N = 19,69 kN

Đáp số

Pcr = 19,69 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 52,21 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 52,21 mm

Đáp số

d = 52,21 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 459,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials