Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 100 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 100 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm lực cắt V_x tại mặt cắt x = 6,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 5 kN/m từ 0 đến 10 mx = 6,5 m

V_x = kN

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 50 kN tại 2,5 mw = 4 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 50 MPa khi kéo và 150 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = 20 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 160 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1500 mm và chiều dày thành 5 mm chứa khí ở áp suất dư 0,8 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 60° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τ_n| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 1500 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 11 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 130 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 130 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1358 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·7461 = 8,836 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·600/8,836 × 10⁸ = 0,1358 mm

Đáp số

δ = 0,1358 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 7,525 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 141,5·1000/117000 = 1,209 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 884,2·500/70000 = 6,316 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,525 mm

Đáp số

δ = 7,525 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 21,04 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·15708) = 0,3673 rad

φ = 0,3673·180/π = 21,04°

Đáp số

φ = 21,04°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 39,32 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39,32 mm

Đáp số

d = 39,32 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: V_x = −7,5 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Cắt tại x = 6,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = R_A − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)

V_x = 25 − 5·6,5 = −7,5 kN

Đáp số

V_x = −7,5 kN

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 17 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2,5 + 4·5·2,5

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 35·4,5 − 50·(4,5 − 2,5) − 4·4,5·2,25 = 17 kN·m

Đáp số

M_x = 17 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 50,24 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

bụng: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·235 + 3960·110)/8760 = 178,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 160·30³/12 + 4800·(235 − 178,5)² = 1,569 × 10⁷ mm⁴

bụng: 18·220³/12 + 3960·(110 − 178,5)² = 3,455 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,569 × 10⁷ + 3,455 × 10⁷ = 5,024 × 10⁷ mm⁴ = 50,24 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 50,24 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 22,8 kN·m

Trọng tâm

ȳ = (2800·305 + 6000·150)/8800 = 199,3 mm

cạnh trên: c = 310 − 199,3 = 110,7 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 280·10³/12 + 2800·105,7² + 20·300³/12 + 6000·49,32² = 9,089 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 150·9,089 × 10⁷/110,7 = 123,2 kN·m

cạnh dưới: M = 50·9,089 × 10⁷/199,3 = 22,8 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 22,8 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 22,8 kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 81,93 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 110 MPa, R = √(50² + 20²) = 53,85 MPa

σ₁ = 163,9 MPa, σ₂ = 56,15 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107,7, 163,9, 56,15)/2 = 81,93 MPa

Đáp số

τ_abs = 81,93 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τ_n| = 25,98 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σ_h = pr/t và ứng suất dọc trục σ_a = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0,8·750/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τ_n| = (120 − 60)·sin 60°·cos 60° = 25,98 MPa

Đáp số

|τ_n| = 25,98 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 46,02 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 46,02 mm

Đáp số

δ = 46,02 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 4,12 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 11000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·2500³/(48·1,61 × 10¹²) = 2,224 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,896 mm

Cộng lại

δ_max = 2,224 + 1,896 = 4,12 mm

Đáp số

δ_max = 4,12 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 4,386 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·6000 = 12000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/12000² = 4386 N = 4,386 kN

Đáp số

P_cr = 4,386 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 62,02 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 62,02 mm

Đáp số

d = 62,02 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 135,4, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials