Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12600 mm400 mmØ30Ø40δ = 0,2 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,2 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng0,5 mØ 20 mmĐồng thau2 mP = 115 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 115 kNđoạn 1: Ø30 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = 80, di​ = 48 mmT = 1000 N·mL = 2,5 m

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 48 mm, chiều dài 2,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 1000 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 1000 N·mdo = 80 mmdi = 48 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?10 kW, 750 rpm

Một trục đặc thép truyền 10 kW ở 750 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,25° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0,25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
4 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

35 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
35 kN10 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

35 kN @ 0 m10 kN @ 12 m50 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
120 mm200 mm70 mmØ30xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 70 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100200148xM = 50 kN·mkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 100 mm và dày 14 mm, chiều cao tổng thể 200 mm và bụng dày 8 mm. Nó chịu mô-men uốn 50 kN·m quanh trục x. Tìm độ lớn của ứng suất uốn lớn nhất σmax trong tiết diện.

B = 100 mmH = 200 mmtf = 14 mmtw = 8 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −80σy​ = −10τxy​ = 40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = −80 MPaσy = −10 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 70σy​ = −30τxy​ = 40MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 355 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = 70 MPaσy = −30 MPaτxy = 40 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 8 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 5 kN/mP = 14 kNδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 14 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 120 kNL = 2 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 120 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 120 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 22,75 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4,547 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,2/8,791 × 10⁻⁶ = 22749 N = 22,75 kN

Đáp số

P = 22,75 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 8,016 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 162,7 MPa
σ2 = 366,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 162,7·500/117000 = 0,6953 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 366,1·2000/100000 = 7,321 mm
δ = δ1 + δ2 = 8,016 mm

Đáp số

δ = 8,016 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,574 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Góc xoắn

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(26000·3,5 × 10⁶) = 0,02747 rad
φ = 0,02747·180/π = 1,574°

Đáp số

φ = 1,574°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 43,9 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·127324/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 43,9 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(22,11, 43,9) = 43,9 mm

Đáp số

d = 43,9 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 3 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 29,5 kN, R2 = 29,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 27,5, MC = 51, MD = 70,5 kN·m, ME = 51, MF = 27,5, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 70,5 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 73,33 kN, R2 = 21,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −70 kN·m, MC = 6,667, MD = −16,67, ME = −40, MF = −20, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: MB = −70 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 79,3 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·100 − 706,9·70)/(24000 − 706,9) = 100,9 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·200³/12 + 24000·−0,9104² = 80,02 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,91² = 0,7151 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 79,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 79,3 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σmax = 180,8 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 200 − 2·14 = 172 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·200³ − 92·172³)/12
Ix = 2,766 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

y = 100 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·100/2,766 × 10⁷ = 180,8 MPa

Đáp số

σmax = 180,8 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 65,59 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, −80 − −10) = 131,2°

Góc trên phần tử

θp = 65,59°

Đáp số

θp = 65,59°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,772

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 20 MPa, R = 64,03 MPa
σ1 = 84,03 MPa, σ2 = −44,03 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 128,1 MPa
n = 355/128,1 = 2,772

Đáp số

n = 2,772

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 79,41 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 79,41 mm

Đáp số

δmax = 79,41 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 43,83 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 14000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 14000·5000³/(48·1,76 × 10¹²) = 20,71 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 23,12 mm

Cộng lại

δmax = 20,71 + 23,12 = 43,83 mm

Đáp số

δmax = 43,83 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 6,056 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·5000 = 10000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6,056 kN

Đáp số

Pcr = 6,056 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 79,34 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,34 mm

Đáp số

d = 79,34 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 201,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials