Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12400 mm500 mmØ40Ø50δ = 0,25 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,25 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø40110 GPaØ100/50400 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 200 N·mL = 1,5 m

Một trục thép đặc dài 1,5 m chịu mô-men xoắn 200 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 3°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 200 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?30 kW, 1000 rpm

Một trục đặc nhôm truyền 30 kW ở 1000 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,75° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 30 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0,75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 3 kN/mABmặt cắt5 m3 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
10 kN/m20 kN60 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

20 kN @ 0 m60 kN @ 6 m60 kN @ 4 m10 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
260110t = 10ȳ = ?kích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 260 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 110 mm. Đáy và các cánh đều dày 10 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 260 mmh = 110 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
150 mm300 mm195 mm50 × 50xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 195 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 300 mmlỗ khoét: 50 × 50 mmtâm lỗ: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −30σy​ = −70τxy​ = −30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = −30 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = −30 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −10σy​ = 20τxy​ = −30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = −10 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 19 kNABδ2 m4 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 2 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 19 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 4 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 6 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 60,42 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,25/4,138 × 10⁻⁶ = 60415 N = 60,42 kN

Đáp số

P = 60,42 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 539,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0006, 0,0006364) = 0,0006 (thép)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0006·8,993 × 10⁸ = 539569 N = 539,6 kN

Đáp số

Pmax = 539,6 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 29,23 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1500/(80000·0,05236) = 71620 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 29,23 mm

Đáp số

d = 29,23 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 54,11 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm
dτ = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·286479/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 54,11 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(28,97, 54,11) = 54,11 mm

Đáp số

d = 54,11 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 22,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·8·4
RB = 96/8 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12mặt cắt5 m3 m

Cắt tại x = 5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 12·5 − 3·5·2,5 = 22,5 kN·m

Đáp số

Mx = 22,5 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 5 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 45 kN, R2 = 135 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −20, MC = 0, MD = 10, ME = 10, MF = −60 kN·m, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: MF = −60 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 28,91 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 260·10 = 2600 mm², y1 = 5 mm
hai cánh: A2 = 2·10·100 = 2000 mm², y2 = 10 + 100/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (2600·5 + 2000·60)/4600 = 28,91 mm

Đáp số

ȳ = 28,91 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (45000·150 − 2500·195)/(45000 − 2500) = 147,4 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·300³/12 + 45000·2,647² = 337,8 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·50³/12 + 2500·47,65² = 6,196 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 331,6 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 43,03 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = −50 MPa, R = √(20² + (−30)²) = 36,06 MPa
σ1 = −13,94 MPa, σ2 = −86,06 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72,11, 13,94, 86,06)/2 = 43,03 MPa

Đáp số

τabs = 43,03 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = −2,01 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −−15·0,866 + −30·0,5 = −2,01 MPa

Đáp số

τθ = −2,01 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 28,15 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 19000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 19000·2000²·4000²/(3·2,4 × 10¹²·6000) = 28,15 mm

Đáp số

δP = 28,15 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 57,86 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·70000·16,67) = 5,786 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 57,86 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 57,86 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 17,58 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·5000 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17,58 kN

Đáp số

Pcr = 17,58 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 6,12 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/12,5 = 336

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6,12 MPa

Đáp số

σcr = 6,12 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials