Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
300 kNØ40110 GPaØ100/60400 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 300 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 300 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmĐồng thau1 mØ 20 mmĐồng1,5 mP = 35 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 35 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d1​ = 75 mmd2​ = 30 mmT = 1000 N·mABC0,5 m0,8 m

Một trục đặc đồng thau có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 75 mm và chiều dài 0,5 m; đoạn BC có đường kính 30 mm và chiều dài 0,8 m. Một mô-men xoắn 1000 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φC của đầu C, theo độ.

T = 1000 N·md1 = 75 mm, L1 = 0,5 md2 = 30 mm, L2 = 0,8 mG = 39 GPa
φC = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 20 kW ở 1450 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 60 kNP2​ = 55 kNAB1,5 m2 m2,5 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mP1 = 60 kN tại 1,5 mP2 = 55 kN tại 3,5 m
Mmax = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 10 kN/mAB5 m1 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mw = 10 kN/m từ 0 đến 5 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
200440146xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 200 mm và dày 14 mm, chiều cao tổng thể 440 mm và bụng dày 6 mm. Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 200 mmH = 440 mmtf = 14 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2601028016xM = 10 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 10 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 280 mmM = 10 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −10σy​ = −70τxy​ = −20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = −10 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −50σy​ = 80τxy​ = 40MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 350 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σx = −50 MPaσy = 80 MPaτxy = 40 MPaσY = 350 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 28 kNABδ3 m1 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 3 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 28 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 2 kN/mδL = 2 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 m50 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1492 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8,042 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 300000·400/8,042 × 10⁸ = 0,1492 mm

Đáp số

δ = 0,1492 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,792 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 36,38 MPa
σ2 = 111,4 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 36,38·1000/100000 = 0,3638 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 111,4·1500/117000 = 1,428 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,792 mm

Đáp số

δ = 1,792 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φC = 15,02 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J1 = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 1 × 10⁶·500/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,004127 rad
φBC = 1 × 10⁶·800/(39000·79522) = 0,258 rad

Tổng góc xoắn

φC = 0,004127 + 0,258 = 0,2621 rad = 15,02°

Đáp số

φC = 15,02°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 22,36 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·131714/(π·60)) = 22,36 mm

Đáp số

d = 22,36 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 117,7 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1,5 + 55·3,5
RB = 282,5/6 = 47,08 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 47,08 = 67,92 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·1,5 = 67,92·1,5 = 101,9 kN·m
dưới P2: M = RB·2,5 = 47,08·2,5 = 117,7 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 117,7 kN·m (dưới P2)

Đáp số

Mmax = 117,7 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 42,53 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·5·2,5
RB = 125/6 = 20,83 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 20,83 = 29,17 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng RA, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 29,17/10 = 2,917 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 29,17·2,917 − 10·2,917²/2 = 42,53 kN·m

Đáp số

Mmax = 42,53 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 289,1 × 10⁶ mm⁴

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 440 − 2·14 = 412 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (200·440³ − 194·412³)/12
Ix = 2,891 × 10⁸ mm⁴ = 289,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 289,1 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 15,15 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
bụng: Aw = 16·280 = 4480 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 4480·140)/7080 = 193,2 mm

Định lý trục song song

cánh: 260·10³/12 + 2600·(285 − 193,2)² = 2,191 × 10⁷ mm⁴
bụng: 16·280³/12 + 4480·(140 − 193,2)² = 4,197 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,191 × 10⁷ + 4,197 × 10⁷ = 6,388 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 290 − 193,2 = 96,75 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·96,75/6,388 × 10⁷ = 15,15 MPa

Đáp số

σtrên = 15,15 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 36,06 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((−10 − −70)/2)² + −20²) = 36,06 MPa

Đáp số

τmax = 36,06 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,631

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 15 MPa, R = 76,32 MPa
σ1 = 91,32 MPa, σ2 = −61,32 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(91,32² − 91,32·(−61,32) + (−61,32)²) = 133 MPa
n = 350/133 = 2,631

Đáp số

n = 2,631

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 35,29 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 28000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·3000²·1000²/(3·5,95 × 10¹¹·4000) = 35,29 mm

Đáp số

δP = 35,29 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 1,071 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2000⁴/(384·70000·5,556) = 1,071 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,071 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 1,071 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 255,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1500² = 255879 N = 255,9 kN

Đáp số

Pcr = 255,9 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 55,08 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/6,25 = 112

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Đáp số

σcr = 55,08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials