Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
250 kNØ25110 GPaØ100/50400 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 250 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 250 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmNhôm1,5 mØ 16 mmĐồng thau1,5 mP = 30 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 30 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = ?T = 1000 N·m

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 1000 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

T = 1000 N·mdi/do = 0,6τallow = 75 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?10 kW, 500 rpm

Một trục rỗng phải truyền 10 kW ở 500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 10 kWN = 500 rpmdi/do = 0,6τallow = 40 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 12 kN/mABmặt cắt2,5 m5,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 12 kN/m từ 0 đến 8 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
12 kN/m30 kN50 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

30 kN @ 0 m50 kN @ 12 m15 kN @ 8 m12 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
200 mm150 mm97,5 mmØ30xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 150 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 97,5 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
200201408xM võng lênkích thước tính bằng mm

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 50 MPa khi kéo và 90 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng lên lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu (cho độ lớn của nó).

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 140 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σy​ = 50MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 0 MPa và σᵧ = 50 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 65 MPa?

σx = 0 MPaσy = 50 MPaσ1 = 65 MPa
τxy = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
30°D = 1500 mm, t = 6 mm, p = 0,8 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1500 mm và chiều dày thành 6 mm chứa khí ở áp suất dư 0,8 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 30° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τn| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 1500 mmt = 6 mmp = 0,8 MPaα = 30°
|τn| = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 3 kNABδ2 m3 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 2 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.

P = 3 kNa = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 15 kN/mAB4 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn MA tại đầu ngàm.

L = 4 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m30 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1,5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,134 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5890 = 7,461 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 250000·400/7,461 × 10⁸ = 0,134 mm

Đáp số

δ = 0,134 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,906 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 31,18 MPa
σ2 = 149,2 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 31,18·1500/70000 = 0,6682 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 149,2·1500/100000 = 2,238 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,906 mm

Đáp số

δ = 2,906 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: do = 42,73 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0,8704)) = 42,73 mm
di = 0,6·42,73 = 25,64 mm

Đáp số

do = 42,73 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 40,8 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 30,34 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·40·0,8704)) = 30,34 mm
di = 0,6·30,34 = 18,21 mm

Đáp số

do = 30,34 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 28,97 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 82,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48mặt cắt2,5 m5,5 m

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 48·2,5 − 12·2,5·1,25 = 82,5 kN·m

Đáp số

Mx = 82,5 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 10 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 76,75 kN, R2 = 114,3 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −60, MC = 9,5, MD = 31, ME = 4,5, MF = −100 kN·m, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: MF = −100 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 55,84 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·75 − 706,9·97,5)/(30000 − 706,9) = 74,46 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·150³/12 + 30000·0,5429² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·23,04² = 0,4151 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 55,84 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 55,84 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Mallow = 5,137 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (4000·150 + 1120·70)/5120 = 132,5 mm
cạnh trên: c = 160 − 132,5 = 27,5 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 200·20³/12 + 4000·17,5² + 8·140³/12 + 1120·62,5² = 7,563 × 10⁶ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng lên: thớ trên chịu kéo, thớ dưới chịu nén.

cạnh trên: M = 50·7,563 × 10⁶/27,5 = 13,75 kN·m
cạnh dưới: M = 90·7,563 × 10⁶/132,5 = 5,137 kN·m

Giá trị quyết định

Mallow = min = 5,137 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

Mallow = 5,137 kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 31,22 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (0 + 50)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 65 − 25 = 40 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 25²) = 31,22 MPa

Đáp số

τxy = 31,22 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τn| = 21,65 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 0,8·750/6 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τn| = (100 − 50)·sin 30°·cos 30° = 21,65 MPa

Đáp số

|τn| = 21,65 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δB = 14,77 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 3000 N, a = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δP = Pa³/(3EI) = 4,545 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003409 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 14,77 mm

Đáp số

δB = 14,77 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: MA = 30 kN·m

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

MA = wL²/2 − RB·L = 120 − 90 = 30 kN·m

Đáp số

MA = 30 kN·m
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 157,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1500² = 157914 N = 157,9 kN

Đáp số

Pcr = 157,9 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 62,66 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Đáp số

σcr = 62,66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials