Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmNhôm3 mP = 40 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 40 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng0,5 mØ 20 mmNhôm1 mP = 115 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 115 kNđoạn 1: Ø30 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 750 N·md = 30 mmL = 1,2 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?30 kW, 500 rpm

Một trục rỗng phải truyền 30 kW ở 500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,5 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 30 kWN = 500 rpmdi/do = 0,5τallow = 50 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 3 kN/mABmặt cắt9 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 9 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 3 kN/m từ 0 đến 10 mx = 9 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 10 kN/mAB1 m4 m3 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm khoảng cách x0 từ A đến mặt cắt có mô-men uốn lớn nhất.

L = 8 mw = 10 kN/m từ 1 đến 5 m
x0 = m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2003801412xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 200 mm và dày 14 mm, chiều cao tổng thể 380 mm và bụng dày 12 mm. Tìm mô-đun chống uốn đàn hồi Sx của nó khi uốn quanh trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 200 mmH = 380 mmtf = 14 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
18024010290248xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 180 × 10 mm, bụng cao 290 mm và dày 8 mm, và cánh dưới 240 × 24 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 180 × 10 mmbụng: 8 × 290 mmcánh dưới: 240 × 24 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 0σy​ = −60τxy​ = −60MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = 0 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −10σy​ = −10τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = −10 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
τθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 12 kN/mδL = 1,5 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 5 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 md = 20 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 85 kNL = 1 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 85 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 85 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 21,83 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/70000 = 0,007276 = 7276 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,007276·3000 mm = 21,83 mm

Đáp số

δ = 21,83 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 366,1 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 162,7 MPa
σ2 = 366,1 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 366,1 MPa

Đáp số

σmax = 366,1 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 24,94 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(26000·79522) = 0,4353 rad
φ = 0,4353·180/π = 24,94°

Đáp số

φ = 24,94°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 39,63 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 573 N·m = 572958 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·572958/(π·50·0,9375)) = 39,63 mm
di = 0,5·39,63 = 19,82 mm

Đáp số

do = 39,63 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 38,79 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 13,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15mặt cắt9 m1 m

Cắt tại x = 9 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 15·9 − 3·9·4,5 = 13,5 kN·m

Đáp số

Mx = 13,5 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: x0 = 3,5 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·4·3
RB = 120/8 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 15 = 25 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng RA, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 25/10 = 3,5 m

Đáp số

x0 = 3,5 m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Sx = 1217 × 10³ mm³

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 380 − 2·14 = 352 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (200·380³ − 188·352³)/12
Ix = 2,312 × 10⁸ mm⁴

Mômen chống uốn của mặt cắt

c = H/2 = 190 mm
Sx = I/c = 2,312 × 10⁸/190
Sx = 1,217 × 10⁶ mm³ = 1217 × 10³ mm³

Đáp số

Sx = 1217 × 10³ mm³
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 158,3 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 1800 mm², y = 319 mm
bụng: A = 2320 mm², y = 169 mm
cánh dưới: A = 5760 mm², y = 12 mm

Trọng tâm

ȳ = (1800·319 + 2320·169 + 5760·12)/9880 = 104,8 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 180·10³/12 + 1800·214,2² = 8,26 × 10⁷ mm⁴
bụng: 8·290³/12 + 2320·64,2² = 2,582 × 10⁷ mm⁴
cánh dưới: 240·24³/12 + 5760·92,8² = 4,988 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8,26 × 10⁷ + 2,582 × 10⁷ + 4,988 × 10⁷
Ix = 1,583 × 10⁸ mm⁴ = 158,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 158,3 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 67,08 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((0 − −60)/2)² + −60²) = 67,08 MPa

Đáp số

τmax = 67,08 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = 19,28 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −0·0,766 + 30·0,6428 = 19,28 MPa

Đáp số

τθ = 19,28 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 19,18 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 19,18 mm

Đáp số

δ = 19,18 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·70000·8,333) = 9,04 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 9,04 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 3,515 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2100² = 3515 N = 3,515 kN

Đáp số

Pcr = 3,515 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 66,92 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·85000 = 170000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66,92 mm

Đáp số

d = 66,92 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 119,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials