Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 25 mmĐồng thau1 mP = 115 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
30 kN12300 mm400 mmØ40Ø40σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 30 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?50 kW, 1450 rpm

Một trục rỗng phải truyền 50 kW ở 1450 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 50 kWN = 1450 rpmdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 40 kN·mAB1 m5 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 40 kN·m tại x = 1 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên trái ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 6 mM0 = 40 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 1 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 3 kN/mP = 70 kNAB2 m6 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 8 mP = 70 kN tại 2 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
120 mm200 mm70 mmØ50xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 50 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 70 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmtâm lỗ: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
3001018018xM = 30 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 30 kN·m. Tìm ứng suất uốn σdưới ở mép dưới.

bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 180 mmM = 30 kN·m
σdưới = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 110σy​ = 40τxy​ = 30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = 30 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = 110 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 30σy​ = −20τxy​ = 50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 30 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 30 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 10 kN/mP = 11 kNABδ2 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 11 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 20 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 m25 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 2343 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/100000 = 0,002343 = 2343 µε

Đáp số

ε = 2343 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 7,409 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 30000·376991/1,215 × 10⁶ = 9310 N

Ứng suất

σ2 = 9310/1257 = 7,409 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 7,409 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 4,503 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·79522) = 0,0786 rad
φ = 0,0786·180/π = 4,503°

Đáp số

φ = 4,503°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 39,44 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·329286/(π·40·0,6836)) = 39,44 mm
di = 0,75·39,44 = 29,58 mm

Đáp số

do = 39,44 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 34,74 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = −6,667 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/6 = 6,667 kN (hướng lên)
RA = −RB = −6,667 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên trái ngẫu lực

Phần bên trái chỉ chứa RA.

Mx = RA·a = −6,667·1 = −6,667 kN·m

Đáp số

Mx = −6,667 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 123 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 70·2 + 3·8·4
RB = 236/8 = 29,5 kN
ΣFy = 0: RA = 94 − 29,5 = 64,5 kN

V = 0 ở đâu?

V(2⁻) = RA − w·2 = 58,5 kN
V(2⁺) = 58,5 − 70 = −11,5 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 64,5·2 − 3·2²/2 = 123 kN·m

Đáp số

Mmax = 123 kN·m

Nó xảy ra tại x = 2 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 77,77 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·100 − 1963·70)/(24000 − 1963) = 102,7 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,673² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−32,67² = 2,403 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 77,77 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 77,77 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σdưới = 178,3 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 300·10 = 3000 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
bụng: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·185 + 3240·90)/6240 = 135,7 mm

Định lý trục song song

cánh: 300·10³/12 + 3000·(185 − 135,7)² = 7,324 × 10⁶ mm⁴
bụng: 18·180³/12 + 3240·(90 − 135,7)² = 1,551 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,324 × 10⁶ + 1,551 × 10⁷ = 2,283 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 135,7 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·135,7/2,283 × 10⁷ = 178,3 MPa

Đáp số

σdưới = 178,3 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 60,55 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 75 MPa, R = √(35² + 30²) = 46,1 MPa
σ1 = 121,1 MPa, σ2 = 28,9 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(92,2, 121,1, 28,9)/2 = 60,55 MPa

Đáp số

τabs = 60,55 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 59,37 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 5 + 25·0,6428 + 50·0,766 = 59,37 MPa

Đáp số

σθ = 59,37 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 20,56 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 11000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 11000·2000³/(3·2,4 × 10¹²) = 12,22 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 8,333 mm

Cộng lại

δ = 12,22 + 8,333 = 20,56 mm

Đáp số

δ = 20,56 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 58,59 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·5000⁴/(384·200000·13,89) = 5,859 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 58,59 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 58,59 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 17,99 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2000² = 17991 N = 17,99 kN

Đáp số

Pcr = 17,99 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 197,4 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Đáp số

σcr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials