Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 80 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 80 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 70 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc nhôm đường kính 60 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 750 N·m tác dụng tại B, cách A 3 m, và một mô-men xoắn 1000 N·m cùng chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 0,5 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 1000 N·mAB = 3 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

45 kN @ 6 m15 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm khoảng cách x_c từ A đến điểm đổi dấu mô-men giữa hai gối (nơi mô-men uốn đổi dấu).

L = 9,5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 9,5 mcác gối tại x = 0 và x = 8 m

x_c = m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 40 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_dưới = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 60 MPa và σᵧ = −30 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 75 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 70 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 15 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 135 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 135 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,05962 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5890 = 8,05 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 80000·600/8,05 × 10⁸ = 0,05962 mm

Đáp số

δ = 0,05962 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 9,582 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·1500/70000 = 2,122 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348,2·1500/70000 = 7,46 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,582 mm

Đáp số

δ = 9,582 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 22,17 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Đáp số

φ = 22,17°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 41,26 MPa

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 750 = 1750 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).

|T|_max = 1750 N·m

τ_max = 16·1,75 × 10⁶/(π·60³) = 41,26 MPa

Đáp số

τ_max = 41,26 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 102,5 kN, R₂ = 62,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 175, M_C = 290, M_D = 345 kN·m, M_E = 250, M_F = 125, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 345 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: x_c = 7,719 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·9,5 = 57 kN, đặt tại x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9,5·4,75

R_B = 270,8/8 = 33,84 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 33,84 = 23,16 kN

Mô-men bằng không

Giữa hai gối M(x) = R_A·x − w·x²/2. Ngoài x = 0, nó bằng không tại x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·23,16/6 = 7,719 m

Đáp số

x_c = 7,719 m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 13,39 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

bụng: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·175 + 1280·80)/9680 = 162,4 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·30³/12 + 8400·(175 − 162,4)² = 1,956 × 10⁶ mm⁴

bụng: 8·160³/12 + 1280·(80 − 162,4)² = 1,143 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,956 × 10⁶ + 1,143 × 10⁷ = 1,339 × 10⁷ mm⁴ = 13,39 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 13,39 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 179 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

bụng: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·310 + 2400·150)/6000 = 246 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·20³/12 + 3600·(310 − 246)² = 1,487 × 10⁷ mm⁴

bụng: 8·300³/12 + 2400·(150 − 246)² = 4,012 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,487 × 10⁷ + 4,012 × 10⁷ = 5,498 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 246 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·246/5,498 × 10⁷ = 179 MPa

Đáp số

σ_dưới = 179 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 39,69 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (60 + (−30))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 15 = 60 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 45²) = 39,69 MPa

Đáp số

τ_xy = 39,69 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = −32,45 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −40·0,9848 + −40·−0,1736 = −32,45 MPa

Đáp số

τ_θ = −32,45 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 64,23 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 15000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 19,76 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,02964 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 64,23 mm

Đáp số

δ_B = 64,23 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·11000·11,11) = 4,091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 214,8 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/700² = 214849 N = 214,8 kN

Đáp số

P_cr = 214,8 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 90,43 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 90,43 mm

Đáp số

d = 90,43 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 176,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials