Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmNhôm1,5 mP = 105 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 105 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
40 kN12600 mm300 mmØ30Ø50σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 100 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?10 kW, 3000 rpm

Một trục rỗng phải truyền 10 kW ở 3000 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,7 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 10 kWN = 3000 rpmdi/do = 0,7τallow = 75 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
12 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

45 kN @ 4 m12 kN/m, 2–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 10 kN/mP = 35 kNAB1 m4 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 5 mP = 35 kN tại 1 mw = 10 kN/m từ 0 đến 5 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2801524014xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
150 mm150 mm52,5 mm50 × 20xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 150 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 52,5 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 150 mmlỗ khoét: 50 × 20 mmtâm lỗ: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 160τxy​ = −40MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −40 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = 160 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 0σy​ = −40τxy​ = −50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 0 MPaσy = −40 MPaτxy = −50 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 5 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 15 kN/mAB5 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 5 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 md = 20 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 75 kNL = 4 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 75 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 75 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 19,89 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 928,4/70000 = 0,01326 = 13263 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,01326·1500 mm = 19,89 mm

Đáp số

δ = 19,89 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 15,35 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 40000·719948/955568 = 30137 N

Ứng suất

σ2 = 30137/1963 = 15,35 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 15,35 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,3591 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·613592) = 0,006268 rad
φ = 0,006268·180/π = 0,3591°

Đáp số

φ = 0,3591°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 14,17 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·75·0,7599)) = 14,17 mm
di = 0,7·14,17 = 9,918 mm

Đáp số

do = 14,17 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 12,93 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 30 kN, R2 = 51 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 30, MC = 60, MD = 84, ME = 96 kN·m, MF = 51, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = 96 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 51,2 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·1 + 10·5·2,5
RB = 160/5 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 32 = 53 kN

V = 0 ở đâu?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (53 − 35)/10 = 1,8 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 51,2 kN·m

Đáp số

Mmax = 51,2 kN·m

Nó xảy ra tại x = 1,8 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 46,55 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 240 + 15/2 = 247,5 mm
bụng: Aw = 14·240 = 3360 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·247,5 + 3360·120)/7560 = 190,8 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·15³/12 + 4200·(247,5 − 190,8)² = 1,357 × 10⁷ mm⁴
bụng: 14·240³/12 + 3360·(120 − 190,8)² = 3,299 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,357 × 10⁷ + 3,299 × 10⁷ = 4,655 × 10⁷ mm⁴ = 46,55 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 46,55 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 41,62 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (22500·75 − 1000·52,5)/(22500 − 1000) = 76,05 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,047² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·20³/12 + 1000·−23,55² = 0,5878 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 41,62 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 41,62 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 89,44 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 80 MPa, R = √(80² + (−40)²) = 89,44 MPa
σ1 = 169,4 MPa, σ2 = −9,443 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(178,9, 169,4, 9,443)/2 = 89,44 MPa

Đáp số

τabs = 89,44 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = 20 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −20·−1 + −50·0 = 20 MPa

Đáp số

τθ = 20 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 3,516 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 3,516 mm

Đáp số

δmax = 3,516 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 28,13 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

Đáp số

RB = 28,13 kN
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 5,426 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Đáp số

Pcr = 5,426 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 78,07 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·75000 = 225000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 78,07 mm

Đáp số

d = 78,07 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 204,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials