Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
80 kNØ3070 GPaØ100/50300 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 300 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 80 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 80 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø30100 GPaØ80/60800 mm

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 750 N·mL = 1,2 m

Một trục đồng thau đặc dài 1,2 m chịu mô-men xoắn 750 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 2°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 750 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 5 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 6 kN/mABmặt cắt4,5 m3,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 6 kN/m từ 0 đến 8 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 12 kN/mP = 75 kNAB1,5 m3,5 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 5 mP = 75 kN tại 1,5 mw = 12 kN/m từ 0 đến 5 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
120 mm240 mm84 mmØ30xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 84 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2203028016xM = 30 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 30 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 280 mmM = 30 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 0σy​ = 0τxy​ = −30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 0 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
50°D = 400 mm, t = 6 mm, p = 1 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 400 mm và chiều dày thành 6 mm chứa khí ở áp suất dư 1 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 50° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τn| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 400 mmt = 6 mmp = 1 MPaα = 50°
|τn| = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 15 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 2,5 kN/mABδ5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm
hreq = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 6 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,04334 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 80000·300/5,537 × 10⁸ = 0,04334 mm

Đáp số

δ = 0,04334 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 180,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (đồng thau)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0005·3,613 × 10⁸ = 180642 N = 180,6 kN

Đáp số

Pmax = 180,6 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 50,94 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·1200/(39000·0,03491) = 661105 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 50,94 mm

Đáp số

d = 50,94 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 22,11 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·75)) = 22,11 mm

Đáp số

d = 22,11 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 47,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24mặt cắt4,5 m3,5 m

Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 24·4,5 − 6·4,5·2,25 = 47,25 kN·m

Đáp số

Mx = 47,25 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 110,3 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 75·1,5 + 12·5·2,5
RB = 262,5/5 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 52,5 = 82,5 kN

V = 0 ở đâu?

V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 64,5 kN
V(1,5⁺) = 64,5 − 75 = −10,5 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·1,5 − w·1,5²/2 = 82,5·1,5 − 12·1,5²/2 = 110,3 kN·m

Đáp số

Mmax = 110,3 kN·m

Nó xảy ra tại x = 1,5 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 137,3 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (28800·120 − 706,9·84)/(28800 − 706,9) = 120,9 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·240³/12 + 28800·−0,9058² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−36,91² = 1,003 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 137,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 137,3 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 24,82 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
bụng: Aw = 16·280 = 4480 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·295 + 4480·140)/11080 = 232,3 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·30³/12 + 6600·(295 − 232,3)² = 2,642 × 10⁷ mm⁴
bụng: 16·280³/12 + 4480·(140 − 232,3)² = 6,746 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,642 × 10⁷ + 6,746 × 10⁷ = 9,388 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 310 − 232,3 = 77,67 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·77,67/9,388 × 10⁷ = 24,82 MPa

Đáp số

σtrên = 24,82 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −45 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 0) = −90°

Góc trên phần tử

θp = −45°

Đáp số

θp = −45°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τn| = 8,207 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1·200/6 = 33,33 MPa
σa = pr/(2t) = 16,67 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τn| = (33,33 − 16,67)·sin 50°·cos 50° = 8,207 MPa

Đáp số

|τn| = 8,207 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 7,266 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 7,266 mm

Đáp số

δmax = 7,266 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 251,9 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,332 × 10⁸ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,332 × 10⁸/100)1/3 = 251,9 mm

Đáp số

hreq = 251,9 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 23,55 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Đáp số

Pcr = 23,55 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 30,71 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Đáp số

σcr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials