Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmĐồng thau3 mP = 110 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 110 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø4070 GPaØ120/70800 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 150 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 200 N·md = 25 mmL = 2,5 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?100 kW, 750 rpm

Một trục rỗng phải truyền 100 kW ở 750 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 100 kWN = 750 rpmdi/do = 0,75τallow = 60 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
15 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

15 kN @ 2 m10 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 8 kN/mABC4 m1 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mmax giữa hai gối.

L = 5 mw = 8 kN/m từ 0 đến 5 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
120 mm240 mm144 mmØ60xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 60 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 144 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mmtâm lỗ: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2802512012xM = 30 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 30 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 120 mmM = 30 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 120σy​ = −60τxy​ = 60MPa

Một điểm có σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 120 MPaσy = −60 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −20σy​ = 10τxy​ = −60MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 35° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = −20 MPaσy = 10 MPaτxy = −60 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 12 kN/mδL = 1,5 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 15 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 6 m20 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 42,02 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1401/100000 = 0,01401 = 14006 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,01401·3000 mm = 42,02 mm

Đáp số

δ = 42,02 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 552,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7,736 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00075, 0,0007143) = 0,0007143 (nhôm)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0007143·7,736 × 10⁸ = 552584 N = 552,6 kN

Đáp số

Pmax = 552,6 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 19,15 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·38350) = 0,3343 rad
φ = 0,3343·180/π = 19,15°

Đáp số

φ = 19,15°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 54,07 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 1273 N·m = 1,273 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·60·0,6836)) = 54,07 mm
di = 0,75·54,07 = 40,55 mm

Đáp số

do = 54,07 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 47,63 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: C (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 19,17 kN, R2 = 5,833 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 38,33, MC = 46,67 kN·m, MD = 35, ME = 23,33, MF = 11,67, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu C: MC = 46,67 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 14,06 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·5·2,5
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN

Lực cắt bằng không

RA − w·x0 = 0 → x0 = 15/8 = 1,875 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 15²/(2·8) = 14,06 kN·m

Đáp số

Mmax = 14,06 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (28800·120 − 2827·144)/(28800 − 2827) = 117,4 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·240³/12 + 28800·2,613² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·60⁴/64 + 2827·26,61² = 2,639 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 135,8 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 89,14 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 120 + 25/2 = 132,5 mm
bụng: Aw = 12·120 = 1440 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·132,5 + 1440·60)/8440 = 120,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·25³/12 + 7000·(132,5 − 120,1)² = 1,436 × 10⁶ mm⁴
bụng: 12·120³/12 + 1440·(60 − 120,1)² = 6,935 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,436 × 10⁶ + 6,935 × 10⁶ = 8,37 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 145 − 120,1 = 24,87 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·24,87/8,37 × 10⁶ = 89,14 MPa

Đáp số

σtrên = 89,14 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −28,15 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = 60/108,2 = 0,5547, sin 2θs = −90/108,2 = −0,8321
2θs = atan2(−90, 60) = −56,31°

Góc trên phần tử

θs = −28,15°
kiểm tra: θs − θp = −28,15 − 16,85 = −45°

Đáp số

θs = −28,15°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −66,51 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = −5 + −15·0,342 + −60·0,9397 = −66,51 MPa

Đáp số

σθ = −66,51 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 12,11 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 12,11 mm

Đáp số

δ = 12,11 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 125,6 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,256 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 125,6 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 125,6 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 2,193 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·6000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/6000² = 2193 N = 2,193 kN

Đáp số

Pcr = 2,193 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 38,86 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Đáp số

σcr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials