Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 800 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 50 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 50 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 20 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 15 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 100 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 300 mm quay 8,87° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 100 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 8,87°

G = GPa

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc nhôm đường kính 25 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 100 N·m đặt tại C, cách A 0,8 m và cách B 2,5 m. Tìm góc quay φ_C của tiết diện C, theo độ.

d = 25 mmT₀ = 100 N·ma = 0,8 mb = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 1 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 5 kN/m từ 0 đến 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 5 mP = 35 kN tại 3 mw = 3 kN/m từ 0 đến 5 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −40 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,03126 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 50000·800/1,279 × 10⁹ = 0,03126 mm

Đáp số

δ = 0,03126 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 8,43 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 20000·785398/949023 = 16552 N

Ứng suất

σ₂ = 16552/1963 = 8,43 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 8,43 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 38,99 GPa

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 8,87·π/180 = 0,1548 rad

Mô đun trượt

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(4970·0,1548) = 38990 MPa

G = 38,99 GPa

Đáp số

G = 38,99 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 3,483 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·2,5/3,3 = 75,76 N·m

T_B = 100·0,8/3,3 = 24,24 N·m

Góc quay của C

Dùng đoạn AC: nó được ngàm tại A và chịu T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 75758·800/(26000·38350) = 0,06078 rad = 3,483°

Đáp số

φ_C = 3,483°

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 7,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Cắt tại x = 1 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 10·1 − 5·1·0,5 = 7,5 kN·m

Đáp số

M_x = 7,5 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 51 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 3·5·2,5

R_B = 142,5/5 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 28,5 = 21,5 kN

V = 0 ở đâu?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 12,5 kN

V(3⁺) = 12,5 − 35 = −22,5 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 21,5·3 − 3·3²/2 = 51 kN·m

Đáp số

M_max = 51 kN·m

Nó xảy ra tại x = 3 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 44,94 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

bụng: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·285 + 3920·140)/5120 = 174 mm

Định lý trục song song

cánh: 120·10³/12 + 1200·(285 − 174)² = 1,48 × 10⁷ mm⁴

bụng: 14·280³/12 + 3920·(140 − 174)² = 3,014 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,48 × 10⁷ + 3,014 × 10⁷ = 4,494 × 10⁷ mm⁴ = 44,94 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 44,94 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 32,18 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

bụng: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·252,5 + 1920·120)/4920 = 200,8 mm

Định lý trục song song

cánh: 120·25³/12 + 3000·(252,5 − 200,8)² = 8,177 × 10⁶ mm⁴

bụng: 8·240³/12 + 1920·(120 − 200,8)² = 2,175 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,177 × 10⁶ + 2,175 × 10⁷ = 2,993 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 265 − 200,8 = 64,21 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·64,21/2,993 × 10⁷ = 32,18 MPa

Đáp số

σ_trên = 32,18 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 47,17 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = −5 MPa, R = √(25² + (−40)²) = 47,17 MPa

σ₁ = 42,17 MPa, σ₂ = −52,17 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(94,34, 42,17, 52,17)/2 = 47,17 MPa

Đáp số

τ_abs = 47,17 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = −1,34 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −20·0,5 + 10·0,866 = −1,34 MPa

Đáp số

τ_θ = −1,34 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 9,083 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 9,083 mm

Đáp số

δ_max = 9,083 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 36,16 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·3000⁴/(384·70000·8,333) = 3,616 × 10⁷ mm⁴

I_req = 36,16 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 36,16 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 6,867 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Đáp số

P_cr = 6,867 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 7,896 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Đáp số

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials