Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 25 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 10 kW ở 500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 10 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 8 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 4 mP = 45 kN tại 2,5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 4 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 210 mm và đường kính trong d = 178 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 210 mmd = 178 mm

r = mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 100 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 30 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 180 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 300 mmlỗ khoét: 30 × 50 mmtâm lỗ: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 100 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 100 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 6 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/250. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất h_req.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm

h_req = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,09455 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1,269 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 200000·600/1,269 × 10⁹ = 0,09455 mm

Đáp số

δ = 0,09455 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 124,3 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 124,3 MPa

Đáp số

σ_max = 124,3 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 24,94 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(26000·79522) = 0,4353 rad

φ = 0,4353·180/π = 24,94°

Đáp số

φ = 24,94°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 8,3 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·25/575243 = 8,3 MPa

Đáp số

τ_max = 8,3 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 12 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 16·3 − 8·3·1,5 = 12 kN·m

Đáp số

M_x = 12 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 60,94 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2,5 + 10·4·2

R_B = 192,5/4 = 48,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 48,13 = 36,88 kN

V = 0 ở đâu?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 11,88 kN

V(2,5⁺) = 11,88 − 45 = −33,13 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 36,88·2,5 − 10·2,5²/2 = 60,94 kN·m

Đáp số

M_max = 60,94 kN·m

Nó xảy ra tại x = 2,5 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 68,82 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 9752 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,619 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(4,619 × 10⁷/9752) = 68,82 mm

Đáp số

r = 68,82 mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 223,3 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·150 − 1500·180)/(30000 − 1500) = 148,4 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·300³/12 + 30000·1,579² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

30·50³/12 + 1500·31,58² = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 223,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 223,3 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 81,45 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, −50 − 80) = 162,9°

Góc trên phần tử

θ_p = 81,45°

Đáp số

θ_p = 81,45°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 108,3 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 30 + 70·0,5 + −50·−0,866 = 108,3 MPa

Đáp số

σ_θ = 108,3 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 19,88 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 6000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(3EI) = 6000·2000³/(3·1,61 × 10¹²) = 9,938 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 9,938 mm

Cộng lại

δ = 9,938 + 9,938 = 19,88 mm

Đáp số

δ = 19,88 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: h_req = 208,7 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·16) = 7,576 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = I_req → h = (12·7,576 × 10⁷/100)^1/3 = 208,7 mm

Đáp số

h_req = 208,7 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 151,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Đáp số

P_cr = 151,4 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 6,747 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Đáp số

σ_cr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials