Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmThép2 mP = 35 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmĐồng thau1,5 mØ 12 mmĐồng1 mP = 110 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 110 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 15 mmT = 75 N·m400 mmφ = 13,3°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 15 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 75 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 400 mm quay 13,3° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 75 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 13,3°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 1800 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
4 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

45 kN @ 4 m4 kN/m, 2–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 12 kN/mABC8 m2 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mmax giữa hai gối.

L = 10 mw = 12 kN/m từ 0 đến 10 mcác gối tại x = 0 và x = 8 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
150 mm200 mm80 mmØ30xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 80 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100 mm200 mm60 mm30 × 40xIx​ = ?

Một tấm 100 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 30 mm và cao 40 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 60 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 200 mmlỗ khoét: 30 × 40 mmtâm lỗ: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −40σy​ = 70τxy​ = −40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = −40 MPaσy = 70 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −50σy​ = 70τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = −50 MPaσy = 70 MPaτxy = 10 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 17 kNABδ2 m1 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 2 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 17 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 4 kN/mδL = 2,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (thép)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 m30 × 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2,5 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1547 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/200000 = 0,001547 = 1547 µε

Đáp số

ε = 1547 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 972,6 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 114,3 MPa
σ2 = 972,6 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 972,6 MPa

Đáp số

σmax = 972,6 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 26 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 13,3·π/180 = 0,2321 rad

Mô đun trượt

T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·400/(4970·0,2321) = 26003 MPa
G = 26 GPa

Đáp số

G = 26 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 18,9 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·79577/(π·60)) = 18,9 mm

Đáp số

d = 18,9 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 20,33 kN, R2 = 40,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 20,33, MC = 40,67, MD = 59, ME = 73,33 kN·m, MF = 38,67, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = 73,33 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 84,38 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·10·5
RB = 600/8 = 75 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 75 = 45 kN

Lực cắt bằng không

RA − w·x0 = 0 → x0 = 45/12 = 3,75 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 45²/(2·12) = 84,38 kN·m

Đáp số

Mmax = 84,38 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·100 − 706,9·80)/(30000 − 706,9) = 100,5 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,4826² = 100 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−20,48² = 0,3363 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 99,67 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 64,46 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (20000·100 − 1200·60)/(20000 − 1200) = 102,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·200³/12 + 20000·−2,553² = 66,8 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

30·40³/12 + 1200·−42,55² = 2,333 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 64,46 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 64,46 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 68,01 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((−40 − 70)/2)² + −40²) = 68,01 MPa

Đáp số

τmax = 68,01 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −20,91 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 10 + −60·0,6428 + 10·0,766 = −20,91 MPa

Đáp số

σθ = −20,91 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 3,148 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 17000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 17000·2000²·1000²/(3·2,4 × 10¹²·3000) = 3,148 mm

Đáp số

δP = 3,148 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 1,465 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2500⁴/(384·200000·6,944) = 1,465 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,465 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 1,465 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 3,886 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·4000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/4000² = 3886 N = 3,886 kN

Đáp số

Pcr = 3,886 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 12,34 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Đáp số

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials