Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmThép1,5 mP = 100 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmĐồng thau2 mØ 16 mmĐồng thau0,5 mP = 70 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 70 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 1450 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 10 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 20 kNP2​ = 20 kNABC1 m3 m1,5 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P1 giữa hai gối và một lực tập trung P2 tại C. Tìm mô-men uốn Mx dưới tải P1. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 5,5 mP1 = 20 kN tại 1 mP2 = 20 kN tại 5,5 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mABC5 m1 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm khoảng cách xc từ A đến điểm đổi dấu mô-men giữa hai gối (nơi mô-men uốn đổi dấu).

L = 6 mw = 2 kN/m từ 0 đến 6 mcác gối tại x = 0 và x = 5 m
xc = m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
240190t = 10ȳ = ?kích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 240 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 190 mm. Đáy và các cánh đều dày 10 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 240 mmh = 190 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
160480146xM = 60 kN·mkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 160 mm và dày 14 mm, chiều cao tổng thể 480 mm và bụng dày 6 mm. Nó chịu mô-men uốn 60 kN·m quanh trục x. Tìm độ lớn của ứng suất uốn σj tại chỗ nối giữa bụng và cánh trên.

B = 160 mmH = 480 mmtf = 14 mmtw = 6 mmM = 60 kN·m
σj = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 20σy​ = 20τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 20 MPaσy = 20 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 70σy​ = 120τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 70 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
τθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 4 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 4 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 m20 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 2487 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/200000 = 0,002487 = 2487 µε

Đáp số

ε = 2487 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 348,2 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 55,7 MPa
σ2 = 348,2 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 348,2 MPa

Đáp số

σmax = 348,2 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,137 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·251327) = 0,0373 rad
φ = 0,0373·180/π = 2,137°

Đáp số

φ = 2,137°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 18,86 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·65857/(π·50)) = 18,86 mm

Đáp số

d = 18,86 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 7,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 20·5,5
RB = 130/4 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 32,5 = 7,5 kN

Cắt dưới P1 và giữ phần bên trái

Mx = RA·1 = 7,5·1 = 7,5 kN·m

Đáp số

Mx = 7,5 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: xc = 4,8 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·6·3
RB = 36/5 = 7,2 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 7,2 = 4,8 kN

Mô-men bằng không

Giữa hai gối M(x) = RA·x − w·x²/2. Ngoài x = 0, nó bằng không tại x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·4,8/2 = 4,8 m

Đáp số

xc = 4,8 m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 62 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 240·10 = 2400 mm², y1 = 5 mm
hai cánh: A2 = 2·10·180 = 3600 mm², y2 = 10 + 180/2 = 100 mm

Trọng tâm

ȳ = (2400·5 + 3600·100)/6000 = 62 mm

Đáp số

ȳ = 62 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σj = 46,85 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 480 − 2·14 = 452 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·480³ − 154·452³)/12
Ix = 2,895 × 10⁸ mm⁴

Ứng suất uốn

y = 240 − 14 = 226 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·226/2,895 × 10⁸ = 46,85 MPa

Đáp số

σj = 46,85 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −45 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, 20 − 20) = −90°

Góc trên phần tử

θp = −45°

Đáp số

θp = −45°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = 38,48 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −−25·0,5 + 30·0,866 = 38,48 MPa

Đáp số

τθ = 38,48 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 2,906 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 2,906 mm

Đáp số

δmax = 2,906 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 46,02 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 10,24 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1500² = 10235 N = 10,24 kN

Đáp số

Pcr = 10,24 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 56,65 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Đáp số

σcr = 56,65 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials