Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmĐồng thau1,5 mP = 115 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
40 kN12500 mm200 mmØ20Ø60σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 60 mm, chiều dài 200 mm, E = 100 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = ?T = 400 N·m

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 400 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

T = 400 N·mdi/do = 0,75τallow = 50 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 6 kN/mABmặt cắt4 m1 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4 m
Vx = kN
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 6 kN/mP = 70 kNAB3 m1 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 4 mP = 70 kN tại 3 mw = 6 kN/m từ 0 đến 4 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
B = 180H = 225t = 16xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện hộp chữ nhật rỗng có chiều rộng ngoài B = 180 mm, chiều cao ngoài H = 225 mm và chiều dày thành đều t = 16 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

B = 180 mmH = 225 mmt = 16 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100 mm240 mm72 mm30 × 20xIx​ = ?

Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 30 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 72 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 240 mmlỗ khoét: 30 × 20 mmtâm lỗ: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 80σy​ = −30τxy​ = −20MPa

Một điểm có σₓ = 80 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 80 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt của trục

Một trục đặc đường kính 40 mm chịu một lực kéo dọc trục 130 kN cùng với mô-men xoắn 750 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

d = 40 mmF = 130 kNT = 750 N·m
τmax = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 5 kN/mδL = 2 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 12 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 20 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 70 kNL = 3 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 70 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 5720 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 572/100000 = 0,00572 = 5720 µε

Đáp số

ε = 5720 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 12,99 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 40000·1,414 × 10⁶/1,539 × 10⁶ = 36735 N

Ứng suất

σ2 = 36735/2827 = 12,99 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 12,99 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: do = 39,06 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,6836)) = 39,06 mm
di = 0,75·39,06 = 29,3 mm

Đáp số

do = 39,06 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 34,41 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 22,99 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·60)) = 22,99 mm

Đáp số

d = 22,99 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = −9 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2,5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15mặt cắt4 m1 m

Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 15 − 6·4 = −9 kN

Đáp số

Vx = −9 kN
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 61,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 70·3 + 6·4·2
RB = 258/4 = 64,5 kN
ΣFy = 0: RA = 94 − 64,5 = 29,5 kN

V = 0 ở đâu?

V(3⁻) = RA − w·3 = 11,5 kN
V(3⁺) = 11,5 − 70 = −58,5 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 29,5·3 − 6·3²/2 = 61,5 kN·m

Đáp số

Mmax = 61,5 kN·m

Nó xảy ra tại x = 3 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 82,98 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

b = 148 mm, h = 193 mm
A = BH − bh = 180·225 − 148·193 = 11936 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 8,219 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(8,219 × 10⁷/11936) = 82,98 mm

Đáp số

r = 82,98 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 113,8 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·120 − 600·72)/(24000 − 600) = 121,2 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,231² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

30·20³/12 + 600·−49,23² = 1,474 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 113,8 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 113,8 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −54,99 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −20/58,52 = −0,3417, sin 2θs = −55/58,52 = −0,9398
2θs = atan2(−55, −20) = −110°

Góc trên phần tử

θs = −54,99°
kiểm tra: θs − θp = −54,99 − (−9,992) = −45°

Đáp số

θs = −54,99°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 78,98 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = 130000/(π·40²/4) = 130000/1257 = 103,5 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa
στxyCτmax​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 51,73 MPa
R = √(51,73² + 59,68²) = 78,98 MPa

Đáp số

τmax = 78,98 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 2,63 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 2,63 mm

Đáp số

δmax = 2,63 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,736 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 6,89 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Đáp số

Pcr = 6,89 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 65,32 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·70000 = 140000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 65,32 mm

Đáp số

d = 65,32 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 128,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials