Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmĐồng thau3 mP = 85 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 85 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø20110 GPaØ120/60500 mm

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 60 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 100 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
10 kN/m30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

30 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 10 kN/mABC6 m1 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm khoảng cách xc từ A đến điểm đổi dấu mô-men giữa hai gối (nơi mô-men uốn đổi dấu).

L = 7 mw = 10 kN/m từ 0 đến 7 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m
xc = m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
160110t = 20ȳ = ?kích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 160 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 110 mm. Đáy và các cánh đều dày 20 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 160 mmh = 110 mmt = 20 mm
ȳ = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
200 mm300 mm90 mm30 × 20xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 30 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 90 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 300 mmlỗ khoét: 30 × 20 mmtâm lỗ: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 60σy​ = 110τxy​ = −10MPa

Một điểm có σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = 60 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
35°D = 600 mm, t = 5 mm, p = 1,2 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 600 mm và chiều dày thành 5 mm chứa khí ở áp suất dư 1,2 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 35° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τn| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 600 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 35°
|τn| = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 11 kNABδ1,5 m4,5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.

P = 11 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 3 kN/mABδ3,5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 75 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 75 mm
hreq = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 m25 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 120 kNL = 6 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 120 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 120 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,608 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/100000 = 0,001203 = 1203 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,001203·3000 mm = 3,608 mm

Đáp số

δ = 3,608 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 543,2 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·8482 = 9,959 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0006, 0,0005455) = 0,0005455 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0005455·9,959 × 10⁸ = 543210 N = 543,2 kN

Đáp số

Pmax = 543,2 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 4,384 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·251327) = 0,07652 rad
φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Đáp số

φ = 4,384°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 49,54 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·80)) = 49,54 mm

Đáp số

d = 49,54 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 75 kN, R2 = 75 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 130, MC = 220, MD = 270 kN·m, ME = 220, MF = 130, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 270 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: xc = 5,833 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, đặt tại x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·7·3,5
RB = 245/6 = 40,83 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 40,83 = 29,17 kN

Mô-men bằng không

Giữa hai gối M(x) = RA·x − w·x²/2. Ngoài x = 0, nó bằng không tại x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·29,17/10 = 5,833 m

Đáp số

xc = 5,833 m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 39,12 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 160·20 = 3200 mm², y1 = 10 mm
hai cánh: A2 = 2·20·90 = 3600 mm², y2 = 20 + 90/2 = 65 mm

Trọng tâm

ȳ = (3200·10 + 3600·65)/6800 = 39,12 mm

Đáp số

ȳ = 39,12 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 447,8 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (60000·150 − 600·90)/(60000 − 600) = 150,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,6061² = 450 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

30·20³/12 + 600·−60,61² = 2,224 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 447,8 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 447,8 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = 108,7 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = 85 − (−25)·0,6428 − (−10)·0,766 = 108,7 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = 61,27 MPa, σx′ + σy′ = 170 = σx + σy

Đáp số

σy′ = 108,7 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τn| = 16,91 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 1,2·300/5 = 72 MPa
σa = pr/(2t) = 36 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τn| = (72 − 36)·sin 35°·cos 35° = 16,91 MPa

Đáp số

|τn| = 16,91 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δB = 17,06 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 11000 N, a = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δP = Pa³/(3EI) = 3,102 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003102 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 17,06 mm

Đáp số

δB = 17,06 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 206,2 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9,722) = 5,481 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,481 × 10⁷/75)1/3 = 206,2 mm

Đáp số

hreq = 206,2 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 51,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2000² = 51404 N = 51,4 kN

Đáp số

Pcr = 51,4 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 117 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 117 mm

Đáp số

d = 117 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 143,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials