Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmNhôm2,5 mP = 35 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
40 kN12300 mm300 mmØ30Ø50σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?30 kW, 750 rpm

Một trục rỗng phải truyền 30 kW ở 750 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 30 kWN = 750 rpmdi/do = 0,75τallow = 75 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 35 kNP2​ = 50 kNABC1 m3 m1 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P1 giữa hai gối và một lực tập trung P2 tại C. Tìm mô-men uốn Mx dưới tải P1. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 5 mP1 = 35 kN tại 1 mP2 = 50 kN tại 5 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mP = 10 kNABmặt cắt2,5 m1,5 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 10 kN tại 4 mw = 2 kN/m từ 0 đến 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
150 mm200 mm80 mmØ60xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 60 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 80 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmtâm lỗ: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
200 mm240 mm144 mm50 × 20xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 240 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 144 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 240 mmlỗ khoét: 50 × 20 mmtâm lỗ: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −80σy​ = −80τxy​ = −20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = −80 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −10σy​ = −70τxy​ = 30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 355 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = −10 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
P = 75 kNAB2 m2 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn MA tại đầu ngàm.

L = 4 mP = 75 kN tại 2 m
MA = kN·m
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 m30 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 4421 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/70000 = 0,004421 = 4421 µε

Đáp số

ε = 4421 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 12,73 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 40000·785398/1,257 × 10⁶ = 25000 N

Ứng suất

σ2 = 25000/1963 = 12,73 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 12,73 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,197 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·613592) = 0,02089 rad
φ = 0,02089·180/π = 1,197°

Đáp số

φ = 1,197°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 33,6 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 382 N·m = 381972 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·75·0,6836)) = 33,6 mm
di = 0,75·33,6 = 25,2 mm

Đáp số

do = 33,6 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 29,6 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 13,75 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·1 + 50·5
RB = 285/4 = 71,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 71,25 = 13,75 kN

Cắt dưới P1 và giữ phần bên trái

Mx = RA·1 = 13,75·1 = 13,75 kN·m

Đáp số

Mx = 13,75 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 11,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·4 + 2·5·2,5
RB = 65/5 = 13 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 13 = 7 kN
w = 2 kN/mP = 10 kNABRA​ = 7RB​ = 13mặt cắt2,5 m1,5 m1 m

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 7·2,5 − 2·2,5·1,25 = 11,25 kN·m

Đáp số

Mx = 11,25 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 98,12 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·100 − 2827·80)/(30000 − 2827) = 102,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·200³/12 + 30000·−2,081² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−22,08² = 2,015 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 98,12 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 98,12 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 229,8 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (48000·120 − 1000·144)/(48000 − 1000) = 119,5 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·240³/12 + 48000·0,5106² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·20³/12 + 1000·24,51² = 0,6341 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 229,8 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 229,8 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −45 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

σxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−20, −80 − −80) = −90°

Góc trên phần tử

θp = −45°

Đáp số

θp = −45°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 4,184

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = −40 MPa, R = 42,43 MPa
σ1 = 2,426 MPa, σ2 = −82,43 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 84,85 MPa
n = 355/84,85 = 4,184

Đáp số

n = 4,184

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 11,63 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 11,63 mm

Đáp số

δ = 11,63 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: MA = 56,25 kN·m

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

MA = P·L/2 − RB·L = 150 − 93,75 = 56,25 kN·m

Đáp số

MA = 56,25 kN·m
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 201,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1050² = 201420 N = 201,4 kN

Đáp số

Pcr = 201,4 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 226,6 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/7,5 = 93,33

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93,33² = 226,6 MPa

Đáp số

σcr = 226,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials