Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 120 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục thép đặc dài 1 m chịu mô-men xoắn 2000 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 1°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 2000 N·mL = 1 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 2,5 m. Tìm mô-men uốn M_x tại mặt cắt x = 2 m tính từ ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 3 mP = 35 kN tại 2,5 mw = 4 kN/m từ 0 đến 3 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

25 kN @ 12 m45 kN @ 4 m12 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 20 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 150 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 150 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −70 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 150 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/250. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất h_req.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 150 mm

h_req = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,3839 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·600/3,126 × 10⁸ = 0,3839 mm

Đáp số

δ = 0,3839 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 15,57 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 169,8·1500/70000 = 3,638 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596,8·2000/100000 = 11,94 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 15,57 mm

Đáp số

δ = 15,57 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 61,8 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1000/(80000·0,01745) = 1,432 × 10⁶ mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)^1/4 = 61,8 mm

Đáp số

d = 61,8 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 20,09 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·50)) = 20,09 mm

Đáp số

d = 20,09 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = −19,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −35·0,5 = −17,5 kN·m

w: −4·1²/2 = −2 kN·m

M_x = −17,5 − 2 = −19,5 kN·m

Đáp số

M_x = −19,5 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: C (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 58 kN, R₂ = 108 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 92, M_C = 136 kN·m, M_D = 42, M_E = −100, M_F = −50, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu C: M_C = 136 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 5,769 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

bụng: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·125 + 1440·60)/4240 = 102,9 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·10³/12 + 2800·(125 − 102,9)² = 1,388 × 10⁶ mm⁴

bụng: 12·120³/12 + 1440·(60 − 102,9)² = 4,381 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,388 × 10⁶ + 4,381 × 10⁶ = 5,769 × 10⁶ mm⁴ = 5,769 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 5,769 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 46,25 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

bụng: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·247,5 + 3360·120)/5460 = 169 mm

Định lý trục song song

cánh: 140·15³/12 + 2100·(247,5 − 169)² = 1,297 × 10⁷ mm⁴

bụng: 14·240³/12 + 3360·(120 − 169)² = 2,421 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,297 × 10⁷ + 2,421 × 10⁷ = 3,718 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 255 − 169 = 85,96 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·85,96/3,718 × 10⁷ = 46,25 MPa

Đáp số

σ_trên = 46,25 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = −74,59 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 35 − 115·0,866 − 20·0,5 = −74,59 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 144,6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = −74,59 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = 51,29 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −−65·0,866 + −10·0,5 = 51,29 MPa

Đáp số

τ_θ = 51,29 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 31,96 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 31,96 mm

Đáp số

δ_max = 31,96 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: h_req = 233,8 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·24) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁸/150)^1/3 = 233,8 mm

Đáp số

h_req = 233,8 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 10,07 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/2800² = 10071 N = 10,07 kN

Đáp số

P_cr = 10,07 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 49,35 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials