Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 50 mm, chiều dài 200 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 60 mm, chiều dài 400 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 100 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 3000 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 8 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn M_B tại gối B. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 6 mw = 4 kN/m từ 0 đến 6 mcác gối tại x = 0 và x = 5 m

M_B = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 144 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 150 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 40 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 200 mmlỗ khoét: 50 × 40 mmtâm lỗ: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −50 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = −50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 2 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 27 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (thép)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 40 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 40 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 70,02 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,3/4,285 × 10⁻⁶ = 70019 N = 70,02 kN

Đáp số

P = 70,02 kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 30,8 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 100000·848230/973894 = 87097 N

Ứng suất

σ₂ = 87097/2827 = 30,8 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 30,8 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,006 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·79522) = 0,1572 rad

φ = 0,1572·180/π = 9,006°

Đáp số

φ = 9,006°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 6,467 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·30/1,107 × 10⁶ = 6,467 MPa

Đáp số

τ_max = 6,467 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 66,67, M_C = 133,3, M_D = 150, M_E = 166,7 kN·m, M_F = 83,33, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = 166,7 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_B = −2 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·6·3

R_B = 72/5 = 14,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 14,4 = 9,6 kN

Cắt tại B và giữ đoạn công-xôn

Tải trên đoạn công-xôn, w·a, đặt cách B một đoạn a/2 và làm dầm uốn võng lên trên gối.

M_B = −w·a²/2 = −4·1²/2 = −2 kN·m

Đáp số

M_B = −2 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 114,3 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·120 − 1257·144)/(24000 − 1257) = 118,7 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·240³/12 + 24000·1,326² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·25,33² = 0,9317 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 114,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 114,3 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 98,88 × 10⁶ mm⁴

Trọng tâm

ȳ = (30000·100 − 2000·120)/(30000 − 2000) = 98,57 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·200³/12 + 30000·1,429² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·40³/12 + 2000·21,43² = 1,185 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 98,88 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 98,88 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = −98,66 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = −60 − 10·0,866 − 60·0,5 = −98,66 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = −21,34 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −120 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = −98,66 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = −25,71 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −0·0,766 + −40·0,6428 = −25,71 MPa

Đáp số

τ_θ = −25,71 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 9,091 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 27000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 27000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹²·3000) = 9,091 mm

Đáp số

δ_P = 9,091 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·200000·16,67) = 6,075 × 10⁷ mm⁴

I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 50,23 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2500 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/5000² = 50230 N = 50,23 kN

Đáp số

P_cr = 50,23 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 56,79 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 56,79 mm

Đáp số

d = 56,79 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 147,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials