Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
300 kNØ40120 GPaØ120/60500 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 300 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 300 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmĐồng1 mØ 16 mmNhôm1 mP = 120 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 120 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 10 mmT = 20 N·m300 mmφ = 4,38°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 10 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 20 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 300 mm quay 4,38° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 4,38°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 20 kW ở 1500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNAB1 m2 m5 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 8 mP1 = 15 kN tại 1 mP2 = 10 kN tại 3 m
Mmax = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 16 kN/mAB2 m2 m2 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mw = 16 kN/m từ 2 đến 4 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
120 mm300 mm120 mmØ40xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm300 mm105 mm80 × 20xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 80 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 105 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 300 mmlỗ khoét: 80 × 20 mmtâm lỗ: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −20σy​ = 110τxy​ = 20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = −20 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 130σy​ = −20τxy​ = −40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 130 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 25 kNABδ1,5 m4,5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 25 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 2,5 kN/mABδ3,5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm
hreq = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 20 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1182 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1,269 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 300000·500/1,269 × 10⁹ = 0,1182 mm

Đáp số

δ = 0,1182 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 9,342 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 95,49 MPa
σ2 = 596,8 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 95,49·1000/117000 = 0,8162 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 596,8·1000/70000 = 8,526 mm
δ = δ1 + δ2 = 9,342 mm

Đáp số

δ = 9,342 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 79,95 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴
φ = 4,38·π/180 = 0,07645 rad

Mô đun trượt

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981,7·0,07645) = 79947 MPa
G = 79,95 GPa

Đáp số

G = 79,95 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 20,09 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·80)) = 20,09 mm

Đáp số

d = 20,09 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 28,13 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 10·3
RB = 45/8 = 5,625 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 5,625 = 19,38 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·1 = 19,38·1 = 19,38 kN·m
dưới P2: M = RB·5 = 5,625·5 = 28,13 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 28,13 kN·m (dưới P2)

Đáp số

Mmax = 28,13 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 40 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 16·2·3
RB = 96/6 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng RA, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 16/16 = 3 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 16·3 − 16·1²/2 = 40 kN·m

Đáp số

Mmax = 40 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·150 − 1257·120)/(36000 − 1257) = 151,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,085² = 270 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31,09² = 1,34 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 266,6 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·150 − 1600·105)/(36000 − 1600) = 152,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·300³/12 + 36000·−2,093² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

80·20³/12 + 1600·−47,09² = 3,602 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 266,6 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 266,6 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 68,01 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((−20 − 110)/2)² + 20²) = 68,01 MPa

Đáp số

τmax = 68,01 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 72,57 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 55 + 75·0,6428 + −40·0,766 = 72,57 MPa

Đáp số

σθ = 72,57 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 2,511 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 25000 N, a = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa³/(3EI) = 25000·1500³/(3·1,12 × 10¹³) = 2,511 mm

Đáp số

δP = 2,511 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 176,3 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,568 × 10⁷/100)1/3 = 176,3 mm

Đáp số

hreq = 176,3 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 195,3 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Đáp số

Pcr = 195,3 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 35,25 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/5 = 140

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Đáp số

σcr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials