Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12500 mm500 mmØ20Ø60δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 60 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
100 kN12500 mm500 mmØ40Ø50σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 100 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 25 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 0,5 mb = 3 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 25 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 2000 N·m đặt tại C, cách A 0,5 m và cách B 3 m. Tìm mô-men phản lực TA tại tường A.

d = 25 mmT0 = 2000 N·ma = 0,5 mb = 3 m
TA = N·m
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 15 kN·mAB2 m6 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 15 kN·m tại x = 2 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên trái ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 8 mM0 = 15 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 2 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 10 kN/mP = 60 kNABmặt cắt2 m4 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mP = 60 kN tại 2 mw = 10 kN/m từ 0 đến 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
120 mm150 mm45 mmØ40xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 150 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 45 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
17026010260188xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 170 × 10 mm, bụng cao 260 mm và dày 8 mm, và cánh dưới 260 × 18 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 170 × 10 mmbụng: 8 × 260 mmcánh dưới: 260 × 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 0σy​ = −30τxy​ = 20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 0 MPaσy = −30 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt của trục

Một trục đặc đường kính 30 mm chịu một lực nén dọc trục 120 kN cùng với mô-men xoắn 200 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

d = 30 mmF = −120 kNT = 200 N·m
τmax = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 11 kNABδ2 m1 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 2 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 11 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 20 kN/mP = 16 kNδL = 2 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 16 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 m20 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 4 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 51,41 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/9,726 × 10⁻⁶ = 51408 N = 51,41 kN

Đáp số

P = 51,41 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 24,64 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 100000·471239/973894 = 48387 N

Ứng suất

σ2 = 48387/1963 = 24,64 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 24,64 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 14,37 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·38350) = 0,2507 rad
φ = 0,2507·180/π = 14,37°

Đáp số

φ = 14,37°
4.Xoắn của trục

Đáp số: TA = 1714 N·m

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·3/3,5 = 1714 N·m
TB = 2000·0,5/3,5 = 285,7 N·m

Đáp số

TA = 1714 N·m
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = −3,75 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 15/8 = 1,875 kN (hướng lên)
RA = −RB = −1,875 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên trái ngẫu lực

Phần bên trái chỉ chứa RA.

Mx = RA·a = −1,875·2 = −3,75 kN·m

Đáp số

Mx = −3,75 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 120 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 10·6·3
RB = 300/6 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 50 = 70 kN
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = 70RB​ = 50mặt cắt2 m4 m

Cắt tại x = 2 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 70·2 − 10·2·1 = 120 kN·m

Đáp số

Mx = 120 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 32,41 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (18000·75 − 1257·45)/(18000 − 1257) = 77,25 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·150³/12 + 18000·−2,252² = 33,84 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−32,25² = 1,433 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 32,41 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 32,41 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 112,3 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 1700 mm², y = 283 mm
bụng: A = 2080 mm², y = 148 mm
cánh dưới: A = 4680 mm², y = 9 mm

Trọng tâm

ȳ = (1700·283 + 2080·148 + 4680·9)/8460 = 98,23 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 170·10³/12 + 1700·184,8² = 5,805 × 10⁷ mm⁴
bụng: 8·260³/12 + 2080·49,77² = 1,687 × 10⁷ mm⁴
cánh dưới: 260·18³/12 + 4680·89,23² = 3,739 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,805 × 10⁷ + 1,687 × 10⁷ + 3,739 × 10⁷
Ix = 1,123 × 10⁸ mm⁴ = 112,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 112,3 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 26,57 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·20, 0 − −30) = 53,13°

Góc trên phần tử

θp = 26,57°

Đáp số

θp = 26,57°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 92,89 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −120000/(π·30²/4) = −120000/706,9 = −169,8 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa
στxyCτmax​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −84,88 MPa
R = √((−84,88)² + 37,73²) = 92,89 MPa

Đáp số

τmax = 92,89 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 37,04 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 11000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹¹·3000) = 37,04 mm

Đáp số

δP = 37,04 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 1,486 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 16000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 16000·2000³/(48·4,6 × 10¹²) = 0,5797 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 0,9058 mm

Cộng lại

δmax = 0,5797 + 0,9058 = 1,486 mm

Đáp số

δmax = 1,486 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 9,212 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2000² = 9212 N = 9,212 kN

Đáp số

Pcr = 9,212 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 9,715 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266,7

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Đáp số

σcr = 9,715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials