Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.
Dãy số & chuỗi
Cấp số cộng
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ
R = lim |ck/ck+1|
Đa thức Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Phương pháp
Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Ma trận và định thức
định thức 2×2
det = ad − bc
Ma trận nghịch đảo 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Sản phẩm
(AB)ij = Σk AikBkj
Giá trị riêng
det(A − λI) = 0
Quy tắc Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Phương trình vi phân
Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
dy/dt = ky → y = y0ekt
Chu kỳ bán rã
k = ln 2 / t½
Định luật làm nguội Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Thừa số tích phân
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Bể trộn
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Bài tập
1.Phương pháp sốTrung bình
Hãy xấp xỉ ∫01,5 1/(1 + x³) dx bằng quy tắc hình thang với n = 3 dải. Hãy cho T.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
T =
2.Phương pháp sốKhó
Hãy dùng phương pháp Euler với h = 0,2 cho y′ = −2ty, y(0) = 0,5 để ước lượng y4 ≈ y(0,8).
y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,2
y4 =
3.Dãy số & chuỗiTrung bình
Hãy tìm tổng S = Σk=1∞ 3/(k(k + 1)).
ak = 3/(k(k + 1))
S =
4.Dãy số & chuỗiKhó
Hãy tìm hệ số c₂ của (x − 25)² trong chuỗi Taylor của f(x) = √x quanh a = 25.
f(x) = √xa = 25k = 2
c₂ =
5.Ma trận và định thứcTrung bình
Tìm định thức det A của ma trận 3×3 A đã cho.
A = [−3 3 −3; −5 5 2; 3 4 3]
det A =
6.Ma trận và định thứcKhó
Tìm giá trị riêng lớn hơn λ của ma trận A đã cho.
A = [−1 −2; −4 1]
λ =
7.Phương trình vi phânTrung bình
Giải y″ + 7y′ + 12y = 0 với y(0) = 4 và y′(0) = 0. Tìm y(1,5).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 0
y(1.5) =
8.Phương trình vi phânKhó
Một bể chứa 400 L nước trong đó hòa tan 10 kg muối. Nước muối với 0,05 kg muối mỗi lít chảy vào với tốc độ 20 L/min, và dung dịch đã trộn đều chảy ra với cùng tốc độ. Sau 5 phút trong bể có bao nhiêu muối m?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3Dung dịch
1.Phương pháp số
Đáp số: T = 1,002
Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.
Tích phân này không có nguyên hàm sơ cấp, đúng là lúc cần một quy tắc số.
2.Phương pháp số
Đáp số: y4 = 0,2937
Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.
Các bước Euler
y₁ = 0,5 + 0,2·(0) = 0,5
y₂ = 0,5 + 0,2·(−0,2) = 0,46
y₃ = 0,46 + 0,2·(−0,368) = 0,3864
y₄ = 0,3864 + 0,2·(−0,46368) = 0,293664
Đồ thị
y4 = 0,2937
Đáp số
y4 = 0,2937
Giá trị chính xác là y(0,8) = 0,263646.
3.Dãy số & chuỗi
Đáp số: S = 3
Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|; tiêu chuẩn căn: L = lim |ak|1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σck(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |ck/ck+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.
Phân thức riêng
3/(k(k + 1)) = 3·(1/k − 1/(k + 1))
Hủy
S = 3·1 = 3
Đáp số
S = 3
4.Dãy số & chuỗi
Đáp số: c₂ = −0,001
Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.
Đạo hàm f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = −0,25·x1/2 − 2
Hệ số
c₂ = −0,25·251/2 − 2/2! = −0,001
c₂ = −0,001
Đáp số
c₂ = −0,001
5.Ma trận và định thức
Đáp số: det A = 147
Ma trận: định thức của ma trận 2×2 là ad − bc. Với 3×3, khai triển theo một hàng: mỗi phần tử nhân với định thức của ma trận 2×2 còn lại sau khi bỏ hàng và cột của nó, với dấu xen kẽ + − +. Các giá trị riêng λ là nghiệm của det(A − λI) = 0; với 2×2 đó là λ² − (vết)·λ + det = 0.
Các định thức con 2×2 của hàng đầu
M₁₁ = 7, M₁₂ = −21, M₁₃ = −35
Khai triển phần bù đại số
det A = (−3)·7 − 3·(−21) + (−3)·(−35) = 147
Đáp số
det A = 147
6.Ma trận và định thức
Đáp số: λ = 3
Ma trận: định thức của ma trận 2×2 là ad − bc. Với 3×3, khai triển theo một hàng: mỗi phần tử nhân với định thức của ma trận 2×2 còn lại sau khi bỏ hàng và cột của nó, với dấu xen kẽ + − +. Các giá trị riêng λ là nghiệm của det(A − λI) = 0; với 2×2 đó là λ² − (vết)·λ + det = 0.
Phương trình đặc trưng
λ² − (0)λ + (−9) = 0
Giải
λ = (0 ± √(36))/2 → λ = −3, 3
λ = 3
Đáp số
λ = 3
7.Phương trình vi phân
Đáp số: y(1.5) = 0,148
Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = ert: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·er₁t + B·er₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·ert (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.
Các nghiệm đặc trưng
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
Các hằng số từ các giá trị ban đầu
A + B = 4, −3A − 4B = 0
A = 16, B = −12
Tính giá trị
y(1,5) = 16·e−4,5 + (−12)·e−6 = 0,148
Đáp số
y(1,5) = 0,148
8.Phương trình vi phân
Đáp số: m = 12,21 kg
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Thiết lập phương trình
dm/dt = 20·0,05 − (20/400)·m = 1 − 0,05·m
Giải
Thừa số tích phân là ert/V; nghiệm tiến tới giá trị cân bằng c·V.