Phương pháp số: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phương pháp số

Phương pháp chia đôi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Nội suy tuyến tính: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Chặn sai số hình thang: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Phương pháp

Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Ma trận và định thức

định thức 2×2: det = ad − bc
Ma trận nghịch đảo 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Sản phẩm: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Giá trị riêng: det(A − λI) = 0
Quy tắc Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Bài tập

1.Phương pháp sốTrung bình

Hãy xấp xỉ ∫₀² x³ dx bằng quy tắc hình thang, n = 4, và so sánh với giá trị chính xác. Hãy tìm sai số tuyệt đối |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 4

|E| =

2.Phương pháp sốKhó

Hãy dùng phương pháp Euler với h = 0,1 cho y′ = −2ty, y(0) = 3 để ước lượng y₅ ≈ y(0,5).

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,1

y₅ =

3.Dãy số & chuỗiTrung bình

Chuỗi lũy thừa Σ_k=1^∞ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏ hội tụ trên một khoảng quanh x₀ = −2. Hãy tìm đầu mút phải x của khoảng đó.

Σ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏx₀ = −2

x =

4.Dãy số & chuỗiKhó

Hãy nhận ra chuỗi và tìm tổng của nó: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ/(2k + 1)!.

a_k = (−1)ᵏ/(2k + 1)!

S =

5.Ma trận và định thứcTrung bình

Tìm định thức det A của ma trận 3×3 A đã cho.

A = [3 0 −2; −4 5 5; 0 2 4]

det A =

6.Ma trận và định thứcKhó

Tìm giá trị riêng lớn hơn λ của ma trận A đã cho.

A = [5 6; −9 −10]

λ =

7.Phương trình vi phânTrung bình

Một lon nước ngọt ở 3 °C được lấy từ tủ lạnh ra phòng có nhiệt độ 30 °C. Sau 14 phút, nhiệt độ của nó là 15 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sau khi bắt đầu bao lâu, t, thì đạt tới 26 °C?

T₀ = 3 °CT_a = 30 °CT(14) = 15 °CT = 26 °C

t = min

8.Phương trình vi phânKhó

Giải bài toán giá trị ban đầu y′ + 3y/x = x² với x > 0, y(1) = −3. Tìm y(3).

y′ + 3y/x = x²y(1) = −3

y(3) =

3Dung dịch

1.Phương pháp số

Đáp số: |E| = 0,25

Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.

Giá trị chính xác

I = 4

Quy tắc hình thang

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 2·1 + 2·3,375 + 8) = 4,25

Sai số

|E| = |4,25 − 4| = 0,25

Đáp số

|E| = 0,25

Sai số tương đối: 6,25%.

2.Phương pháp số

Đáp số: y₅ = 2,441

Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.

Các bước Euler

y₁ = 3 + 0,1·(0) = 3

y₂ = 3 + 0,1·(−0,6) = 2,94

y₃ = 2,94 + 0,1·(−1,176) = 2,8224

y₄ = 2,8224 + 0,1·(−1,69344) = 2,653056

y₅ = 2,653056 + 0,1·(−2,122445) = 2,440812

Đồ thị

y₅ = 2,441

Đáp số

y₅ = 2,441

Giá trị chính xác là y(0,5) = 2,336402.

3.Dãy số & chuỗi

Đáp số: x = 0,7183

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Các hệ số

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

Bán kính

R = 2,718

Khoảng

−4,718 < x < 0,7183

x = 0,7183

Đáp số

x = 0,7183

Tiêu chuẩn tỉ số không cho kết luận tại hai đầu mút; chúng phải được kiểm tra riêng.

4.Dãy số & chuỗi

Đáp số: S = 0,8415

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Các chuỗi chuẩn

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

Thay giá trị

x = 1

S = sin 1 = 0,8415

Đáp số

S = 0,8415

5.Ma trận và định thức

Đáp số: det A = 46

Ma trận: định thức của ma trận 2×2 là ad − bc. Với 3×3, khai triển theo một hàng: mỗi phần tử nhân với định thức của ma trận 2×2 còn lại sau khi bỏ hàng và cột của nó, với dấu xen kẽ + − +. Các giá trị riêng λ là nghiệm của det(A − λI) = 0; với 2×2 đó là λ² − (vết)·λ + det = 0.

Các định thức con 2×2 của hàng đầu

M₁₁ = 10, M₁₂ = −16, M₁₃ = −8

Khai triển phần bù đại số

det A = 3·10 − 0·(−16) + (−2)·(−8) = 46

Đáp số

det A = 46

6.Ma trận và định thức

Đáp số: λ = −1

Phương trình đặc trưng

λ² − (−5)λ + (4) = 0

Giải

λ = (−5 ± √(9))/2 → λ = −4, −1

λ = −1

Đáp số

λ = −1

7.Phương trình vi phân

Đáp số: t = 45,48 min

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Hằng số làm nguội

k = ln(-27/-15)/14 = 0,04198 min⁻¹

Thời gian để đạt giá trị mục tiêu

t = ln(-27/(−4))/0,04198 = 45,48 min

Đáp số

t = 45,48 min

8.Phương trình vi phân

Đáp số: y(3) = 4,383

Thừa số tích phân

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Lấy tích phân

(x³y)′ = x⁵ → x³y = 1x⁶/6 + C

Điều kiện ban đầu

−3 = 1/6 + C → C = −3,167

Tính giá trị

y(3) = (1·3⁶/6 + (−3,167))/3³ = 4,383

Đáp số

y(3) = 4,383

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods