Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.
Dãy số & chuỗi
Cấp số cộng
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ
R = lim |ck/ck+1|
Đa thức Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Phương pháp
Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Ma trận và định thức
định thức 2×2
det = ad − bc
Ma trận nghịch đảo 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Sản phẩm
(AB)ij = Σk AikBkj
Giá trị riêng
det(A − λI) = 0
Quy tắc Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Phương trình vi phân
Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
dy/dt = ky → y = y0ekt
Chu kỳ bán rã
k = ln 2 / t½
Định luật làm nguội Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Thừa số tích phân
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Bể trộn
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Bài tập
1.Phương pháp sốTrung bình
Quy tắc hình thang được dùng cho ∫02 sin x dx. Sai số nhiều nhất là (b − a)³·M/(12n²) với M = max|f″| trên [0, 2]. Hãy tìm số dải nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁵.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Phương pháp sốKhó
Hãy giải y′ = y − t², y(0) = −1 bằng phương pháp Euler với bước h = 0,5 đến t = 2,5. Nghiệm chính xác là y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Hãy tìm sai số toàn cục |E| = |y(2,5) − y5|.
y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,5
|E| =
3.Dãy số & chuỗiTrung bình
Hãy tìm tổng S = Σk=1∞ 4/(k(k + 3)).
ak = 4/(k(k + 3))
S =
4.Dãy số & chuỗiKhó
f(x) = sin x được xấp xỉ tại x = 1,5 bằng đa thức Maclaurin bậc n. Với chặn Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! và M = 1, hãy tìm bậc nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁶.
f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Ma trận và định thứcTrung bình
Cho C = AB với các ma trận đã cho. Tìm phần tử c22 (hàng 2, cột 2).
A = [−4 1; 1 5]B = [−2 4; −5 1]
c22 =
6.Ma trận và định thứcKhó
Tìm giá trị riêng lớn hơn λ của ma trận A đã cho.
A = [2 1; −2 −1]
λ =
7.Phương trình vi phânTrung bình
Một lon nước ngọt ở 6 °C được lấy từ tủ lạnh ra phòng có nhiệt độ 23 °C. Sau 6 phút, nhiệt độ của nó là 12 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sau khi bắt đầu bao lâu, t, thì đạt tới 19 °C?
T0 = 6 °CTa = 23 °CT(6) = 12 °CT = 19 °C
t = min
8.Phương trình vi phânKhó
Giải y′ + 3y = 3e−0,5t với y(0) = 2. Tìm y(2).
y′ + 3y = 3e−0,5ty(0) = 2
y(2) =
3Dung dịch
1.Phương pháp số
Đáp số: n = 259
Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.
Chặn của đạo hàm cấp hai
M = |sin(π/2)| = 1
Giải tìm n
n² > 8·1/(12·1 × 10⁻⁵) = 66667
n > 258,2 → n = 259
Đáp số
n = 259
2.Phương pháp số
Đáp số: |E| = 10,47
Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.
Các bước Euler
y5 = −12,828125
Giá trị chính xác
y(2,5) = −23,297482
Sai số toàn cục
|E| = |−23,297482 + 12,828125| = 10,47
Đồ thị
Đáp số
|E| = 10,47
Chia đôi h thì sai số của phương pháp Euler giảm khoảng một nửa.
3.Dãy số & chuỗi
Đáp số: S = 2,444
Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|; tiêu chuẩn căn: L = lim |ak|1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σck(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |ck/ck+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.
Phân thức riêng
4/(k(k + 3)) = (4/3)·(1/k − 1/(k + 3))
Hủy
S = (4/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 2,444
Đáp số
S = 2,444
4.Dãy số & chuỗi
Đáp số: n = 11
Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.
Các chặn khi n tăng
n = 10: 2,167 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 11: 2,709 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
Bậc nhỏ nhất
n = 11
Đáp số
n = 11
5.Ma trận và định thức
Đáp số: c22 = 9
Ma trận: định thức của ma trận 2×2 là ad − bc. Với 3×3, khai triển theo một hàng: mỗi phần tử nhân với định thức của ma trận 2×2 còn lại sau khi bỏ hàng và cột của nó, với dấu xen kẽ + − +. Các giá trị riêng λ là nghiệm của det(A − λI) = 0; với 2×2 đó là λ² − (vết)·λ + det = 0.
Hàng nhân cột
c22 = 1·4 + 5·1 = 9
Đáp số
c22 = 9
6.Ma trận và định thức
Đáp số: λ = 1
Ma trận: định thức của ma trận 2×2 là ad − bc. Với 3×3, khai triển theo một hàng: mỗi phần tử nhân với định thức của ma trận 2×2 còn lại sau khi bỏ hàng và cột của nó, với dấu xen kẽ + − +. Các giá trị riêng λ là nghiệm của det(A − λI) = 0; với 2×2 đó là λ² − (vết)·λ + det = 0.
Phương trình đặc trưng
λ² − (1)λ + (0) = 0
Giải
λ = (1 ± √(1))/2 → λ = 0, 1
λ = 1
Đáp số
λ = 1
7.Phương trình vi phân
Đáp số: t = 19,94 min
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Hằng số làm nguội
k = ln(-17/-11)/6 = 0,07255 min⁻¹
Thời gian để đạt giá trị mục tiêu
t = ln(-17/(−4))/0,07255 = 19,94 min
Đáp số
t = 19,94 min
8.Phương trình vi phân
Đáp số: y(2) = 0,4434
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.