Phương pháp số: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phương pháp số

Phương pháp chia đôi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Nội suy tuyến tính: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Chặn sai số hình thang: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Phương pháp

Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Ma trận và định thức

định thức 2×2: det = ad − bc
Ma trận nghịch đảo 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Sản phẩm: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Giá trị riêng: det(A − λI) = 0
Quy tắc Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Bài tập

1.Phương pháp sốTrung bình

Hãy xấp xỉ ∫₀² √(1 + x³) dx bằng quy tắc hình thang với n = 6 dải. Hãy cho T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6

T =

2.Phương pháp sốKhó

Hãy dùng phương pháp Euler với h = 0,25 cho y′ = 2y, y(0) = 0,5 để ước lượng y₄ ≈ y(1).

y′ = 2yy(0) = 0,5h = 0,25

y₄ =

3.Dãy số & chuỗiTrung bình

Hãy tìm tổng S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 4)).

a_k = 5/(k(k + 4))

S =

4.Dãy số & chuỗiKhó

Hãy tìm hệ số c₂ của (x − 16)² trong chuỗi Taylor của f(x) = √x quanh a = 16.

f(x) = √xa = 16k = 2

c₂ =

5.Ma trận và định thứcTrung bình

Cho C = AB với các ma trận đã cho. Tìm phần tử c₂₁ (hàng 2, cột 1).

A = [1 −1; −2 1]B = [1 4; −4 4]

c₂₁ =

6.Ma trận và định thứcKhó

Tìm giá trị riêng lớn hơn λ của ma trận A đã cho.

A = [5 1; 2 4]

λ =

7.Phương trình vi phânTrung bình

Một chi tiết thép rèn ở 440 °C được để nguội trong xưởng có nhiệt độ 20 °C. Sau 24 phút, nhiệt độ của nó là 224 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Tìm hằng số k theo min⁻¹.

T₀ = 440 °CT_a = 20 °CT(24) = 224 °C

k = min⁻¹

8.Phương trình vi phânKhó

Giải y′ + 0,5y = 5e^−2t với y(0) = 5. Tìm y(2).

y′ + 0,5y = 5e^−2ty(0) = 5

y(2) =

3Dung dịch

1.Phương pháp số

Đáp số: T = 3,26

Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.

Các nút và giá trị

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1,01835 + 2·1,13855 + 2·1,414214 + 2·1,835857 + 2·2,372684 + 3 = 19,559309

Quy tắc hình thang

T = (0,3333/2)·19,559309 = 3,26

Đáp số

T = 3,26

Tích phân này không có nguyên hàm sơ cấp, đúng là lúc cần một quy tắc số.

2.Phương pháp số

Đáp số: y₄ = 2,531

Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.

Các bước Euler

y₁ = 0,5 + 0,25·(1) = 0,75

y₂ = 0,75 + 0,25·(1,5) = 1,125

y₃ = 1,125 + 0,25·(2,25) = 1,6875

y₄ = 1,6875 + 0,25·(3,375) = 2,53125

Đồ thị

y₄ = 2,531

Đáp số

y₄ = 2,531

Giá trị chính xác là y(1) = 3,694528.

3.Dãy số & chuỗi

Đáp số: S = 2,604

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Phân thức riêng

5/(k(k + 4)) = (5/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Hủy

S = (5/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,604

Đáp số

S = 2,604

4.Dãy số & chuỗi

Đáp số: c₂ = −0,001953

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Đạo hàm f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,25·x^{1/2 − 2}

Hệ số

c₂ = −0,25·16^{1/2 − 2}/2! = −0,001953

c₂ = −0,001953

Đáp số

c₂ = −0,001953

5.Ma trận và định thức

Đáp số: c₂₁ = −6

Ma trận: định thức của ma trận 2×2 là ad − bc. Với 3×3, khai triển theo một hàng: mỗi phần tử nhân với định thức của ma trận 2×2 còn lại sau khi bỏ hàng và cột của nó, với dấu xen kẽ + − +. Các giá trị riêng λ là nghiệm của det(A − λI) = 0; với 2×2 đó là λ² − (vết)·λ + det = 0.

Hàng nhân cột

c₂₁ = (−2)·1 + 1·(−4) = −6

Đáp số

c₂₁ = −6

6.Ma trận và định thức

Đáp số: λ = 6

Phương trình đặc trưng

λ² − (9)λ + (18) = 0

Giải

λ = (9 ± √(9))/2 → λ = 3, 6

λ = 6

Đáp số

λ = 6

7.Phương trình vi phân

Đáp số: k = 0,03009 min⁻¹

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Tỉ số các hiệu nhiệt độ

e^−24k = 204/420

Giải tìm k

k = ln(420/204)/24 = 0,03009 min⁻¹

Đáp số

k = 0,03009 min⁻¹

8.Phương trình vi phân

Đáp số: y(2) = 3,005

Thừa số tích phân

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 5e^−1,5t

Nghiệm tổng quát

y = 5/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −3,333·e^−2t + C·e^−0,5t

Điều kiện ban đầu

5 = −3,333 + C → C = 8,333

Tính giá trị

y(2) = −3,333·0,01832 + 8,333·0,3679 = 3,005

Đáp số

y(2) = 3,005

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods