Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Loại dữ liệu nào được thu thập bằng câu hỏi mở trong phỏng vấn?
- ADữ liệu định tính
- BChỉ dữ liệu định lượng danh nghĩa
- CDữ liệu tỷ lệ
- DDữ liệu khoảng
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nghiên cứu với 10 người tham gia thấy một hiệu ứng lớn nhưng không có ý nghĩa thống kê. Kết luận phù hợp nhất là gì?
- AHiệu ứng chắc chắn là sai lầm loại I
- BNghiên cứu chứng minh giả thuyết không là đúng, vì hiệu ứng không có ý nghĩa
- CĐộ lớn hiệu ứng chắc chắn bị tính sai
- DNghiên cứu có thể thiếu lực thống kê, nên kết quả chưa thể kết luận
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 22, 23, 16, 28, 52, 45.
n = 6
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 76.
μ = 70σ = 10x = 76
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3
Var(X) =
6.Xác suấtKhó
5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 5p = 0,6
P =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 769,7 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = điểm
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một khoảng tin cậy 99% cho một trung bình, dựa trên 50 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 7,5. Sai số biên E₂ của một khoảng 90% dựa trên 200 quan sát là bao nhiêu?
99%n₁ = 50E₁ = 7,590%n₂ = 200
E₂ =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 9. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?
σ = 9E = 0,599%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 74,12 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 74,12s = 4n = 100
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 41,6. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 41,6σ = 12n = 1695%
U =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 42Σy = 158Σx² = 364Σy² = 4970Σxy = 1342
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 27) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 27)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 2002 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 6 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Dữ liệu định tính
Vì sao đây là đáp án
Câu hỏi mở tạo ra dữ liệu định tính phong phú, khó phân tích thống kê hơn câu trả lời của câu hỏi đóng.
Đáp số
A · Dữ liệu định tính
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Nghiên cứu có thể thiếu lực thống kê, nên kết quả chưa thể kết luận
Vì sao đây là đáp án
Với mẫu nhỏ, ngay cả hiệu ứng có thật cũng thường không đạt ý nghĩa thống kê (sai lầm loại II). Nhà nghiên cứu nên báo cáo độ lớn hiệu ứng và khoảng tin cậy rồi tái lập với mẫu lớn hơn.
Đáp số
D · Nghiên cứu có thể thiếu lực thống kê, nên kết quả chưa thể kết luận
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 14,25
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 186/6 = 31
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−9)² + (−8)² + (−15)² + (−3)² + 21² + 14² = 1016
Độ lệch chuẩn
s = √(1016/5) = 14,25
Đáp số
s = 14,25
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 0,6
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (76 − 70)/10 = 0,6
Đáp số
z = 0,6
5.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 1,327
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,65
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,35
Phương sai
Var(X) = 8,35 − 2,65² = 1,327
Đáp số
Var(X) = 1,327
6.Xác suất
Đáp số: P = 0,08704
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,45 = 0,01024
P(X = 1) = 5·0,6·0,44 = 0,0768
Cộng lại
P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704
Đáp số
P = 0,08704
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,02275
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Chuẩn hóa
z = (769,7 − 750)/9,849 = 2
Đuôi trên
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 129,4 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Quay lại x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 điểm
Đáp số
x = 129,4 điểm
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E₂ = 2,395
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Tỉ số các sai số biên
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/200) = 0,3193
Sai số biên mới
E₂ = 7,5·0,3193 = 2,395
Đáp số
E₂ = 2,395
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 2150
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·9/0,5)² = 2150
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 2150
Đáp số
n = 2150
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,2
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
Thống kê kiểm định
t = (74,12 − 75)/0,4 = −2,2
Đáp số
t = −2,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 47,48
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·12/√16 = 5,88
Giới hạn của khoảng
U = 41,6 + 5,88 = 47,48
Đáp số
U = 47,48
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9915
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1342 − 42·158/6 = 236
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4970 − 158²/6 = 809,3
Hệ số tương quan
r = 236/√(70·809,3) = 0,9915
Đáp số
r = 0,9915
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 4
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 138/6 = 23
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Đường hồi quy
b = −27/17,5 = −1,543
a = 23 − (−1,543)·3,5 = 28,4
ŷ = 28,4 − 1,543·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 28,4 + (−1,543)·3,5 = 23
Phần dư
e = 27 − 23 = 4
Đáp số
e = 4
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 3,056
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
thành thị: 120·30/200 = 18, 120·80/200 = 48, 120·90/200 = 54
nông thôn: 80·30/200 = 12, 80·80/200 = 32, 80·90/200 = 36
Thống kê chi bình phương
χ² = (22 − 18)²/18 + (44 − 48)²/48 + (54 − 54)²/54 + (8 − 12)²/12 + (36 − 32)²/32 + (36 − 36)²/36
χ² = 3,056
Đáp số
χ² = 3,056
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 9,488
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 6 − 1 − 1 = 4
Bảng
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Đáp số
χ²crit = 9,488
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology