Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Để có một mẫu với tỷ lệ sinh viên năm nhất, năm hai và năm ba giống như quần thể sinh viên của trường, nhà nghiên cứu nên dùng:
- AChọn mẫu quả cầu tuyết
- BChọn mẫu phân tầng
- CChọn mẫu tình nguyện
- DChọn mẫu thuận tiện
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Vì sao nhiều nhà nghiên cứu cho rằng nên báo cáo giá trị p cùng với độ lớn hiệu ứng và khoảng tin cậy?
- AĐộ lớn hiệu ứng làm cỡ mẫu trở nên không liên quan đến ý nghĩa thống kê
- BKhoảng tin cậy chỉ cần trong nghiên cứu định tính
- CGiá trị p không cho biết hiệu ứng lớn đến đâu hay chính xác thế nào
- DGiá trị p cho biết xác suất giả thuyết là đúng
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 22, 28, 53, 40, 47, 56.
n = 6
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 650 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 100x = 650
P =
5.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 8 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 8
P =
6.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 5 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,25, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 3 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 5p = 0,25k = 3
P =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 95,4 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 95,4 s
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).
μ = 100σ = 15P = 90%
x = điểm
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 11 phần tử có trung bình 73 và độ lệch chuẩn s = 8. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 11x̄ = 73s = 890%t(10) = 1,812
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 31. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?
σ = 31E = 299%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 6 học sinh, điểm trung bình 81,5, độ lệch chuẩn 4. Nhóm 2: 11 học sinh, điểm trung bình 78, độ lệch chuẩn 4,5. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 6x̄₁ = 81,5s₁ = 4n₂ = 11x̄₂ = 78s₂ = 4,5
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 80 với H₁: μ > 80 được thực hiện ở mức α = 0,01 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 15. Trên thực tế trung bình là 90,8. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 80μ = 90,8σ = 15n = 25α = 0,01
1 − β = %
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 21Σy = 243Σx² = 91Σy² = 10301Σxy = 938
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 63?
n = 6ŷ = 63
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “nhân viên, ô tô”.
tổng hàng = 93tổng cột = 43N = 136
E =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,01 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Chọn mẫu phân tầng
Vì sao đây là đáp án
Chọn mẫu phân tầng xác định các nhóm con (tầng) và chọn ngẫu nhiên từ mỗi tầng theo tỷ lệ kích thước của nó trong quần thể, làm mẫu đại diện hơn.
Đáp số
B · Chọn mẫu phân tầng
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Giá trị p không cho biết hiệu ứng lớn đến đâu hay chính xác thế nào
Vì sao đây là đáp án
Giá trị p phụ thuộc nhiều vào cỡ mẫu và chỉ cho biết dữ liệu gây ngạc nhiên đến đâu theo giả thuyết không. Độ lớn hiệu ứng cho biết mức độ và khoảng tin cậy cho biết độ chính xác.
Đáp số
C · Giá trị p không cho biết hiệu ứng lớn đến đâu hay chính xác thế nào
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 13,68
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 246/6 = 41
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−19)² + (−13)² + 12² + (−1)² + 6² + 15² = 936
Độ lệch chuẩn
s = √(936/5) = 13,68
Đáp số
s = 13,68
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,9332
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Đáp số
P = 0,9332
5.Xác suất
Đáp số: P = 0,7674
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Đáp số
P = 0,7674
6.Xác suất
Đáp số: P = 0,08789
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Công thức nhị thức
P(X = 3) = 10·0,253·0,752 = 10·0,01563·0,5625 = 0,08789
Đáp số
P = 0,08789
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9332
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Chuẩn hóa
z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332
Đáp số
P = 0,9332
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 119,2 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Quay lại x
x = 100 + 1,282·15 = 119,22 điểm
Đáp số
x = 119,22 điểm
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 68,63
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Sai số biên
E = 1,812·8/√11 = 4,371
Khoảng
73 ± 4,371 → [68,63, 77,37]
Đáp số
giới hạn dưới = 68,63
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 1595
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·31/2)² = 1594
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 1595
Đáp số
n = 1595
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 1,589
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (5·4² + 10·4,5²)/15 = 18,83
sp = 4,34
Sai số chuẩn
SE = 4,34·√(1/6 + 1/11) = 2,203
Thống kê kiểm định
t = (81,5 − 78)/2,203 = 1,589
Đáp số
t = 1,589
Với df = 15, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,131; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 89,87 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 80 + 2,326·3 = 86,98
z theo trung bình thật
z = (86,98 − 90,8)/3 = −1,274
Công suất
lực của kiểm định = P(Z > −1,274) = 89,87%
1 − β = 89,87%
Đáp số
1 − β = 89,87%
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9758
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 938 − 21·243/6 = 87,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 10301 − 243²/6 = 459,5
Hệ số tương quan
r = 87,5/√(17,5·459,5) = 0,9758
Đáp số
r = 0,9758
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 7,238
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 372/6 = 62
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Đường hồi quy
b = 294/70 = 4,2
a = 62 − 4,2·7 = 32,6
ŷ = 32,6 + 4,2·x
Giải tìm x
x = (63 − 32,6)/4,2 = 7,238
Đáp số
x = 7,238
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: E = 29,4
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
E = 93·43/136 = 29,4
Đáp số
E = 29,4
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 1,667
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
nhà máy A: 32, 48
nhà máy B: 32, 48
nhà máy C: 24, 36
Thống kê chi bình phương
χ² = (36 − 32)²/32 + (44 − 48)²/48 + (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48 + (24 − 24)²/24 + (36 − 36)²/36
χ² = 1,667
Quyết định
df = 2, χ²crit = 9,210
1,667 < 9,210
Đáp số
χ² = 1,667
χ² nhỏ hơn giá trị tới hạn, nên H₀ không bị bác bỏ: chưa có bằng chứng đáng kể về mối quan hệ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology