Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Một nghiên cứu chỉ thực hiện với sinh viên đại học Mỹ có thể thiếu:
- ATính nhất quán nội tại
- BĐộ giá trị quần thể
- CĐộ tin cậy giữa các người đánh giá
- DĐộ giá trị nội dung
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Các thước đo độ lớn hiệu ứng như d của Cohen được báo cáo vì chúng:
- ACho biết kết quả có ý nghĩa thống kê hay không ở mức alpha đã chọn
- BCho biết hiệu ứng lớn đến đâu, bất kể cỡ mẫu
- CThay thế nhu cầu có bất kỳ giả thuyết nào
- DCho biết có bao nhiêu người tham gia bỏ cuộc
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 57, 59, 21, 23, 10, 60, 41.
n = 7
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 96.
μ = 100σ = 5x = 96
z =
5.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 8 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 8
P =
6.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 5X − 3. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,3, 0,25, 0,15Y = 5X − 3
σY =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 10 trong số đó vượt quá 252,4 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 252,4 kg
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 15 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 2,2 và độ lệch chuẩn 2,3. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.
n = 15d̄ = 2,2sd = 2,399%t(14) = 2,977
giới hạn trên = mmHg
10.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 14 ô, năng suất trung bình 78 kg, độ lệch chuẩn 4,5 kg. Nhóm ô 2: 7 ô, trung bình 66,5 kg, độ lệch chuẩn 4,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 14x̄₁ = 78s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 66,5s₂ = 4,590%t(19) = 1,729
giới hạn trên = kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 10 học sinh, điểm trung bình 119, độ lệch chuẩn 5,5. Nhóm 2: 16 học sinh, điểm trung bình 113,5, độ lệch chuẩn 2,5. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 10x̄₁ = 119s₁ = 5,5n₂ = 16x̄₂ = 113,5s₂ = 2,5
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 100 phép đo có trung bình 121,6. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 121,6σ = 12n = 10090%
L =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 15Σy = 258Σx² = 55Σy² = 13362Σxy = 792
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 23?
n = 5ŷ = 23
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 2002 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 6 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 6
df =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Độ giá trị quần thể
Vì sao đây là đáp án
Độ giá trị quần thể là một loại độ giá trị ngoại tại. Các mẫu chủ yếu là người trẻ, phương Tây và có học vấn có thể không đại diện cho những người khác.
Đáp số
B · Độ giá trị quần thể
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Cho biết hiệu ứng lớn đến đâu, bất kể cỡ mẫu
Vì sao đây là đáp án
Với mẫu lớn, ngay cả hiệu ứng rất nhỏ cũng có thể có ý nghĩa thống kê. Độ lớn hiệu ứng biểu thị mức độ của sự khác biệt, ví dụ d = 0,2 nhỏ, 0,5 trung bình, 0,8 lớn.
Đáp số
B · Cho biết hiệu ứng lớn đến đâu, bất kể cỡ mẫu
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 20,77
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 271/7 = 38,71
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 18,29² + 20,29² + (−17,71)² + (−15,71)² + (−28,71)² + 21,29² + 2,286² = 2589
Độ lệch chuẩn
s = √(2589/6) = 20,77
Đáp số
s = 20,77
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −0,8
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (96 − 100)/5 = −0,8
Đáp số
z = −0,8
5.Xác suất
Đáp số: P = 0,7674
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Đáp số
P = 0,7674
6.Xác suất
Đáp số: σY = 6,305
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,1, Var(X) = 1,59, σX = 1,261
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |5|·1,261 = 6,305
Đáp số
σY = 6,305
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 5·2,1 − 3 = 7,5.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,06426
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μT = 250 kg, σT = 0,5·√10 = 1,581 kg
Chuẩn hóa
z = (252,4 − 250)/1,581 = 1,52
Xác suất
P = 1 − Φ(1,52) = 0,06426
Đáp số
P = 0,06426
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/10 = −1
Xác suất
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 3,968 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 14, t = 2,977
Sai số biên
E = 2,977·2,3/√15 = 1,768
Khoảng
2,2 ± 1,768 → [0,4321, 3,968]
Đáp số
giới hạn trên = 3,968 mmHg
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 15,1 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (13·4,5² + 6·4,5²)/19 = 20,25
sp = 4,5
Sai số biên
E = 1,729·4,5·√(1/14 + 1/7) = 3,602
Khoảng
11,5 ± 3,602 → [7,898, 15,1]
Đáp số
giới hạn trên = 15,1 kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 3,494
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (9·5,5² + 15·2,5²)/24 = 15,25
sp = 3,905
Sai số chuẩn
SE = 3,905·√(1/10 + 1/16) = 1,574
Thống kê kiểm định
t = (119 − 113,5)/1,574 = 3,494
Đáp số
t = 3,494
Với df = 24, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,064; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 119,6
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·12/√100 = 1,974
Giới hạn của khoảng
L = 121,6 − 1,974 = 119,6
Đáp số
L = 119,6
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,8115
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 792 − 15·258/5 = 18
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 13362 − 258²/5 = 49,2
Hệ số tương quan
r = 18/√(10·49,2) = 0,8115
Đáp số
r = 0,8115
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 3,286
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 118/5 = 23,6
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Đường hồi quy
b = −21/10 = −2,1
a = 23,6 − (−2,1)·3 = 29,9
ŷ = 29,9 − 2,1·x
Giải tìm x
x = (23 − 29,9)/(−2,1) = 3,286
Đáp số
x = 3,286
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 5,955
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32
nhân viên: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48
Thống kê chi bình phương
χ² = (24 − 24)²/24 + (17 − 24)²/24 + (39 − 32)²/32 + (36 − 36)²/36 + (43 − 36)²/36 + (41 − 48)²/48
χ² = 5,955
Đáp số
χ² = 5,955
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 5
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 6 − 1 = 5
Đáp số
df = 5
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology