Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Thiên lệch công bố đề cập đến:
- ANgười phản biện thiên vị các bài báo của tác giả từ các trường đại học nổi tiếng hơn so với các trường ít tên tuổi
- BCác tạp chí chỉ công bố nghiên cứu định tính
- CCác nghiên cứu có kết quả có ý nghĩa thống kê dễ được công bố hơn các kết quả không (null)
- DCác nhà nghiên cứu công bố cùng một nghiên cứu hai lần
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Trong phân tích chủ đề (thematic analysis), nhà phân tích chủ yếu:
- AKiểm định một giả thuyết bằng số
- BChỉ đếm tần suất từ
- CXác định các mẫu ý nghĩa lặp lại trong dữ liệu định tính
- DTính điểm trung bình của mỗi chủ đề để so sánh chúng về mặt thống kê
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 26, 43, 57, 18, 57.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100. Tìm điểm z z của điểm số 420.
μ = 500σ = 100x = 420
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,1, 0,2, 0,3
Var(X) =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €5 mỗi lượt. Bạn thắng €15 với xác suất 0,3 và €250 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €5€15: p = 0,3€250: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,8904. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,8904
z =
8.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 85% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 100 điểmσ = 15 điểm85%
x = điểm
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 8 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 8,2 và độ lệch chuẩn 4,7. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.
n = 8d̄ = 8,2sd = 4,799%t(7) = 3,499
E = mmHg
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 26. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?
σ = 26E = 590%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 5 học sinh, điểm trung bình 57,5, độ lệch chuẩn 12. Nhóm 2: 11 học sinh, điểm trung bình 49,7, độ lệch chuẩn 9,5. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 5x̄₁ = 57,5s₁ = 12n₂ = 11x̄₂ = 49,7s₂ = 9,5
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3? Độ lệch chuẩn là 15. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 15E = 395%
n =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 30Σy = 60Σx² = 220Σy² = 846Σxy = 430
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 20) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 20)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1202 × 2
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,05 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 1803 × 2α = 0,05
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Các nghiên cứu có kết quả có ý nghĩa thống kê dễ được công bố hơn các kết quả không (null)
Vì sao đây là đáp án
Khi các nghiên cứu không có ý nghĩa bị cất trong ngăn kéo, tài liệu đã công bố đánh giá quá cao độ lớn hiệu ứng, làm méo các phân tích tổng hợp.
Đáp số
C · Các nghiên cứu có kết quả có ý nghĩa thống kê dễ được công bố hơn các kết quả không (null)
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Xác định các mẫu ý nghĩa lặp lại trong dữ liệu định tính
Vì sao đây là đáp án
Phân tích chủ đề gồm làm quen dữ liệu, mã hóa, tạo, rà soát và đặt tên chủ đề rồi viết báo cáo, tập trung vào ý nghĩa hơn là thống kê.
Đáp số
C · Xác định các mẫu ý nghĩa lặp lại trong dữ liệu định tính
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 17,8
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 201/5 = 40,2
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−14,2)² + 2,8² + 16,8² + (−22,2)² + 16,8² = 1267
Độ lệch chuẩn
s = √(1267/4) = 17,8
Đáp số
s = 17,8
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −0,8
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (420 − 500)/100 = −0,8
Đáp số
z = −0,8
5.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 1,827
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,35
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,35
Phương sai
Var(X) = 7,35 − 2,35² = 1,827
Đáp số
Var(X) = 1,827
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = 4,5 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 10 (p = 0,3), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,68)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 10·0,3 + 245·0,02 − 5·0,68 = 4,5 €
Đáp số
E(G) = 4,5 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: z = 1,6
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,8904)/2 = 0,9452
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,9452 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 1,60
Đáp số
z = 1,60
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 115,6 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,85
z từ bảng
z ≈ 1,04
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 100 + 1,04·15 = 115,6 điểm
Đáp số
x = 115,6 điểm
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 5,814 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 7, t = 3,499
Sai số biên
E = 3,499·4,7/√8 = 5,814
Đáp số
E = 5,814 mmHg
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 74
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·26/5)² = 73,17
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 74
Đáp số
n = 74
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 1,407
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (4·12² + 10·9,5²)/14 = 105,6
sp = 10,28
Sai số chuẩn
SE = 10,28·√(1/5 + 1/11) = 5,543
Thống kê kiểm định
t = (57,5 − 49,7)/5,543 = 1,407
Đáp số
t = 1,407
Với df = 14, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,145; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 97
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (1,96·15/3)² = 96,04
Làm tròn lên
n = 97
Đáp số
n = 97
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,986
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 430 − 30·60/5 = 70
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 846 − 60²/5 = 126
Hệ số tương quan
r = 70/√(40·126) = 0,986
Đáp số
r = 0,986
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 3,05
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 90/5 = 18
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Đường hồi quy
b = −21/10 = −2,1
a = 18 − (−2,1)·3 = 24,3
ŷ = 24,3 − 2,1·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 24,3 + (−2,1)·3,5 = 16,95
Phần dư
e = 20 − 16,95 = 3,05
Đáp số
e = 3,05
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 12,15
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
nam: 80·60/120 = 40, 80·60/120 = 40
nữ: 40·60/120 = 20, 40·60/120 = 20
Thống kê chi bình phương
χ² = (31 − 40)²/40 + (49 − 40)²/40 + (29 − 20)²/20 + (11 − 20)²/20
χ² = 12,15
Đáp số
χ² = 12,15
df = 1. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 3,841, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 6,944
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
nhà máy A: 32, 48
nhà máy B: 16, 24
nhà máy C: 24, 36
Thống kê chi bình phương
χ² = (36 − 32)²/32 + (44 − 48)²/48 + (20 − 16)²/16 + (20 − 24)²/24 + (16 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36
χ² = 6,944
Quyết định
df = 2, χ²crit = 5,991
6,944 > 5,991
Đáp số
χ² = 6,944
χ² lớn hơn giá trị tới hạn, nên H₀ bị bác bỏ: hai biến có vẻ liên quan với nhau.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology