Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Độ giá trị sinh thái (ecological validity) đề cập đến:
- AViệc bài kiểm tra có dự đoán được hành vi tương lai hay không
- BMức độ các phát hiện khái quát hóa được sang bối cảnh đời thực
- CMức độ nhất quán của một bài kiểm tra theo thời gian
- DViệc bài kiểm tra trông có vẻ đo đúng thứ cần đo hay không
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nhà nghiên cứu so sánh trung bình của ba nhóm trở lên. Vì sao dùng ANOVA một yếu tố thay vì nhiều kiểm định t?
- AANOVA luôn tìm thấy hiệu ứng lớn hơn so với tập hợp các kiểm định t tương đương
- BNhiều kiểm định t làm tăng tỷ lệ sai lầm loại I tổng thể
- CKiểm định t không xử lý được số trên 100
- DKiểm định t cần dữ liệu định tính
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 35, 20, 48, 46, 28.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 90 là bao nhiêu?
μ = 60σ = 20x = 90
P =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2
σ =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €10 mỗi lượt. Bạn thắng €40 với xác suất 0,1 và €200 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €10€40: p = 0,1€200: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 22,7 và 38,3 min? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 32σ = 6x1 = 22,7x2 = 38,3
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 7 phần tử có trung bình 41,5 và độ lệch chuẩn s = 4. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 7x̄ = 41,5s = 499%t(6) = 3,707
giới hạn trên =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 26. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?
σ = 26E = 299%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
20 nhân viên làm bài kiểm tra đánh máy trước và sau một khóa đào tạo. Với mỗi người, hiệu d = sau − trước (từ mỗi phút) được ghi lại. Hiệu trung bình là 6,18 và độ lệch chuẩn của các hiệu là 7,9. Tìm thống kê kiểm định ghép cặp t cho H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 6,18sd = 7,9
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 100 phép đo có trung bình 101,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 101,8σ = 8n = 10095%
L =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 18?
n = 6ŷ = 18
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “nông thôn, thấp”.
tổng hàng = 80tổng cột = 70N = 189
E =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 8 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 8
df =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Mức độ các phát hiện khái quát hóa được sang bối cảnh đời thực
Vì sao đây là đáp án
Độ giá trị sinh thái liên quan đến việc kết quả có áp dụng được cho các tình huống hằng ngày hay không. Các nghiên cứu phòng thí nghiệm được kiểm soát chặt chẽ thường đạt điểm thấp ở tiêu chí này.
Đáp số
B · Mức độ các phát hiện khái quát hóa được sang bối cảnh đời thực
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Nhiều kiểm định t làm tăng tỷ lệ sai lầm loại I tổng thể
Vì sao đây là đáp án
Chạy nhiều phép kiểm định từng cặp làm nhân lên khả năng dương tính giả. ANOVA kiểm định tất cả các nhóm cùng lúc và được theo sau bởi các kiểm định hậu nghiệm có hiệu chỉnh.
Đáp số
B · Nhiều kiểm định t làm tăng tỷ lệ sai lầm loại I tổng thể
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 11,87
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 177/5 = 35,4
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−0,4)² + (−15,4)² + 12,6² + 10,6² + (−7,4)² = 563,2
Độ lệch chuẩn
s = √(563,2/4) = 11,87
Đáp số
s = 11,87
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,06681
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Đáp số
P = 0,06681
5.Xác suất
Đáp số: σ = 1,117
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,45
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,35
Phương sai
Var(X) = 3,35 − 1,45² = 1,247
σ = √1,247 = 1,117
Đáp số
σ = 1,117
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = −2 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 30 (p = 0,1), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,88)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 30·0,1 + 190·0,02 − 10·0,88 = −2 €
Đáp số
E(G) = −2 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7926
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55
z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,05) − Φ(−1,55) = 0,8531 − 0,06057 = 0,7926
Đáp số
P = 0,7926
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8849
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Đáp số
P = 0,8849
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 47,1
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Sai số biên
E = 3,707·4/√7 = 5,604
Khoảng
41,5 ± 5,604 → [35,9, 47,1]
Đáp số
giới hạn trên = 47,1
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 1122
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·26/2)² = 1121
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 1122
Đáp số
n = 1122
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 3,498
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Sai số chuẩn của hiệu trung bình
SE = 7,9/√20 = 1,766
Thống kê kiểm định
t = 6,18/1,766 = 3,498
Đáp số
t = 3,498
Với df = 19, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,093; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 100,2
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·8/√100 = 1,568
Giới hạn của khoảng
L = 101,8 − 1,568 = 100,2
Đáp số
L = 100,2
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9915
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 112/6 = 18,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182
Syy = Σ(y − ȳ)² = 481,3
Hệ số tương quan
r = 182/√(70·481,3) = 0,9915
Đáp số
r = 0,9915
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 4,585
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 124/6 = 20,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43
Đường hồi quy
b = −43/17,5 = −2,457
a = 20,67 − (−2,457)·3,5 = 29,27
ŷ = 29,27 − 2,457·x
Giải tìm x
x = (18 − 29,27)/(−2,457) = 4,585
Đáp số
x = 4,585
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: E = 29,63
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
E = 80·70/189 = 29,63
Đáp số
E = 29,63
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 7
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 8 − 1 = 7
Đáp số
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology