Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Trong phân phối chuẩn, khoảng bao nhiêu phần trăm số điểm nằm trong phạm vi một độ lệch chuẩn quanh giá trị trung bình?
- A99,7%
- B68%
- C95%
- D50%
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Tăng cỡ mẫu trong một nghiên cứu trực tiếp nhất sẽ:
- ATăng độ lớn hiệu ứng
- BĐảm bảo có kết quả có ý nghĩa thống kê nếu có bất kỳ hiệu ứng nào tồn tại
- CLoại bỏ mọi thiên lệch khỏi mẫu
- DTăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 49, 34, 53, 11, 13, 50.
n = 6
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 180.
μ = 170σ = 5x = 180
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,25, 0,25
Var(X) =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €5 mỗi lượt. Bạn thắng €25 với xác suất 0,15 và €250 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €5€25: p = 0,15€250: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,3545. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,3545
z =
8.Phân phối chuẩnKhó
khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tìm giá trị x mà 20% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 20).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 6 phần tử có trung bình 19 và độ lệch chuẩn s = 18. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 6x̄ = 19s = 1890%t(5) = 2,015
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 33. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?
σ = 33E = 495%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 50,93 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,93s = 4n = 81
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 25 phép đo có trung bình 49,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 49,8σ = 4n = 2595%
U =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 4.
n = 6x = 4
ŷ =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “ca đêm, nặng”.
tổng hàng = 103tổng cột = 59N = 176
E =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,05 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 1803 × 2α = 0,05
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · 68%
Vì sao đây là đáp án
Khoảng 68% số điểm nằm trong ±1 SD, khoảng 95% trong ±2 SD và khoảng 99,7% trong ±3 SD.
Đáp số
B · 68%
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
Vì sao đây là đáp án
Mẫu lớn hơn làm giảm sai số chuẩn, tăng lực thống kê. Chúng không thay đổi độ lớn hiệu ứng thực sự hay loại bỏ thiên lệch hệ thống.
Đáp số
D · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 19,01
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 210/6 = 35
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 14² + (−1)² + 18² + (−24)² + (−22)² + 15² = 1806
Độ lệch chuẩn
s = √(1806/5) = 19,01
Đáp số
s = 19,01
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 2
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (180 − 170)/5 = 2
Đáp số
z = 2
5.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 1,148
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,25 = 2,55
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,25 = 7,65
Phương sai
Var(X) = 7,65 − 2,55² = 1,148
Đáp số
Var(X) = 1,148
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = 3,75 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 20 (p = 0,15), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,83)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 20·0,15 + 245·0,02 − 5·0,83 = 3,75 €
Đáp số
E(G) = 3,75 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: z = 0,46
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,3545)/2 = 0,6772
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,6772 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 0,46
Đáp số
z = 0,46
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 245,8 g
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Quay lại x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Đáp số
x = 245,79 g
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 4,193
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Sai số biên
E = 2,015·18/√6 = 14,81
Khoảng
19 ± 14,81 → [4,193, 33,81]
Đáp số
giới hạn dưới = 4,193
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 262
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·33/4)² = 261,5
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 262
Đáp số
n = 262
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,092
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Thống kê kiểm định
t = (50,93 − 50)/0,4444 = 2,092
Đáp số
t = 2,092
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 51,37
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·4/√25 = 1,568
Giới hạn của khoảng
U = 49,8 + 1,568 = 51,37
Đáp số
U = 51,37
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = −0,9606
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 135/6 = 22,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 69,5
Hệ số tương quan
r = −33,5/√(17,5·69,5) = −0,9606
Đáp số
r = −0,9606
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 59,49
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 408/6 = 68
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298
Đường hồi quy
b = 298/70 = 4,257
a = 68 − 4,257·6 = 42,46
ŷ = 42,46 + 4,257·x
Dự đoán
ŷ = 42,46 + 4,257·4 = 59,49
Đáp số
ŷ = 59,49
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: E = 34,53
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
E = 103·59/176 = 34,53
Đáp số
E = 34,53
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 13,72
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
nhà máy A: 40, 40
nhà máy B: 30, 30
nhà máy C: 20, 20
Thống kê chi bình phương
χ² = (43 − 40)²/40 + (37 − 40)²/40 + (37 − 30)²/30 + (23 − 30)²/30 + (10 − 20)²/20 + (30 − 20)²/20
χ² = 13,72
Quyết định
df = 2, χ²crit = 5,991
13,72 > 5,991
Đáp số
χ² = 13,72
χ² lớn hơn giá trị tới hạn, nên H₀ bị bác bỏ: hai biến có vẻ liên quan với nhau.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology