Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Một nhà nghiên cứu gửi bảng hỏi cho tất cả sinh viên rồi nhờ người trả lời giới thiệu những người bạn cũng dùng một ứng dụng giấc ngủ hiếm gặp. Bước thứ hai dùng phương pháp chọn mẫu nào?
- AChọn mẫu phân tầng
- BChọn mẫu ngẫu nhiên
- CChọn mẫu hệ thống
- DChọn mẫu quả cầu tuyết
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Trong hồi quy bội dự đoán điểm thi từ số giờ học và giấc ngủ, R² = 0,36. Điều này có nghĩa là gì?
- A36% sinh viên đã đỗ kỳ thi
- BSố giờ học gây ra 36% thành công trong kỳ thi
- CCác biến dự báo cùng nhau giải thích 36% phương sai của điểm thi
- DTương quan giữa các biến dự báo là 0,36
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 24, 31, 20, 20, 22, 53.
n = 6
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tìm điểm z z của điểm số 425.
μ = 500σ = 50x = 425
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,35
σ =
6.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 5. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,35, 0,05, 0,05, 0,3Y = −2X + 5
σY =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 37 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 37 min
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 9 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −9,4 và độ lệch chuẩn 7,6. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.
n = 9d̄ = −9,4sd = 7,695%t(8) = 2,306
giới hạn trên = mmHg
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 23. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?
σ = 23E = 490%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Trung bình của một tổng thể được cho là 120; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 16. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 64 quan sát có trung bình 124,56. Kiểm định H₀: μ = 120 với H₁: μ ≠ 120. Tìm giá trị p p.
μ₀ = 120σ = 16n = 64x̄ = 124,56H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 200 với H₁: μ < 200 được thực hiện ở mức α = 0.01 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 15. Trên thực tế trung bình là 194.3. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 200μ = 194,3σ = 15n = 100α = 0,01
1 − β = %
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4, 38) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(4, 38)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 802 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về tính độc lập được thực hiện trên bảng tiếp liên có 2 hàng và 2 cột (không tính các tổng). Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Chọn mẫu quả cầu tuyết
Vì sao đây là đáp án
Chọn mẫu quả cầu tuyết hữu ích với các nhóm khó tiếp cận, nhưng mẫu có khả năng chia sẻ đặc điểm chung và không đại diện.
Đáp số
D · Chọn mẫu quả cầu tuyết
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Các biến dự báo cùng nhau giải thích 36% phương sai của điểm thi
Vì sao đây là đáp án
R² cho biết tất cả các biến dự báo cùng nhau giải thích bao nhiêu phần biến thiên của kết quả. Nó không xác lập quan hệ nhân quả.
Đáp số
C · Các biến dự báo cùng nhau giải thích 36% phương sai của điểm thi
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 12,75
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 170/6 = 28,33
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−4,333)² + 2,667² + (−8,333)² + (−8,333)² + (−6,333)² + 24,67² = 813,3
Độ lệch chuẩn
s = √(813,3/5) = 12,75
Đáp số
s = 12,75
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −1,5
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (425 − 500)/50 = −1,5
Đáp số
z = −1,5
5.Xác suất
Đáp số: σ = 12,44
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 10·0,3 + 20·0,2 + 30·0,15 + 40·0,35 = 25,5
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,2 + 900·0,15 + 1600·0,35 = 805
Phương sai
Var(X) = 805 − 25,5² = 154,8
σ = √154,8 = 12,44
Đáp số
σ = 12,44
6.Xác suất
Đáp số: σY = 3,2
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,8, Var(X) = 2,56, σX = 1,6
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |−2|·1,6 = 3,2
Đáp số
σY = 3,2
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·2,8 + 5 = −0,6.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,02275
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (37 − 32)/2,5 = 2
Đuôi trên
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7389
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Đáp số
P = 0,7389
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = −3,558 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 8, t = 2,306
Sai số biên
E = 2,306·7,6/√9 = 5,842
Khoảng
−9,4 ± 5,842 → [−15,24, −3,558]
Đáp số
giới hạn trên = −3,558 mmHg
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 90
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·23/4)² = 89,47
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 90
Đáp số
n = 90
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: p = 0,02261
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Thống kê kiểm định
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (124,56 − 120)/2 = 2,28
Diện tích đuôi
Φ(2,28) = 0,9887
1 − Φ(2,28) = 0,0113
Giá trị p
p = 2·0,0113 = 0,02261
Đáp số
p = 0,02261
p ≤ 0,05, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5%.
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 92,98 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 200 − 2,326·1,5 = 196,5
z theo trung bình thật
z = (196,5 − 194,3)/1,5 = 1,474
Công suất
lực của kiểm định = P(Z < 1.474) = 92.98%
1 − β = 92,98%
Đáp số
1 − β = 92,98%
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9499
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 264/6 = 44
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Syy = Σ(y − ȳ)² = 912
Hệ số tương quan
r = 240/√(70·912) = 0,9499
Đáp số
r = 0,9499
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 3,51
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 239/6 = 39,83
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187
Đường hồi quy
b = 187/70 = 2,671
a = 39,83 − 2,671·6 = 23,8
ŷ = 23,8 + 2,671·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 23,8 + 2,671·4 = 34,49
Phần dư
e = 38 − 34,49 = 3,51
Đáp số
e = 3,51
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 4,063
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14
nhân viên: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14
Thống kê chi bình phương
χ² = (8 − 8)²/8 + (14 − 18)²/18 + (18 − 14)²/14 + (8 − 8)²/8 + (22 − 18)²/18 + (10 − 14)²/14
χ² = 4,063
Đáp số
χ² = 4,063
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 3,841
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
Bảng
χ²crit(df = 1, α = 0,05) = 3,841
Đáp số
χ²crit = 3,841
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology