Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Một nhà nghiên cứu khảo sát tác động của giới tính lên điểm trí nhớ. Vì sao đây là thí nghiệm bán thực nghiệm (quasi-experiment) chứ không phải thí nghiệm thực sự?
- AChỉ có hai điều kiện, mà một thực nghiệm đúng nghĩa cần ít nhất ba mức của IV
- BNghiên cứu diễn ra trong phòng thí nghiệm
- CIV là một đặc điểm có sẵn, nên không thể phân bổ ngẫu nhiên người tham gia vào đó
- DDV không được đo
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nhà nghiên cứu dùng bảng hỏi, phỏng vấn và quan sát để nghiên cứu căng thẳng nơi làm việc, và các phát hiện đồng nhất với nhau. Cách tiếp cận này gọi là gì?
- APhân tầng
- BTái lập
- CCân bằng đối trọng
- DTam giác hóa (triangulation)
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 27, 22, 35, 32, 22, 24, 27.
n = 7
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 425 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 50x = 425
P =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25
Var(X) =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €6 với xác suất 0,3 và €40 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €2€6: p = 0,3€40: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tỉ lệ nào nằm giữa 247,5 và 260,25 g? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 250σ = 5x1 = 247,5x2 = 260,25
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 60 điện thoại, trung bình 137,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 20 h. Mẫu 2: 40 điện thoại, trung bình 127,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 12 h. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 137,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 40x̄₂ = 127,5 hσ₂ = 12 h95%
E = h
10.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 11 ô, năng suất trung bình 24,5 kg, độ lệch chuẩn 8,5 kg. Nhóm ô 2: 15 ô, trung bình 35,5 kg, độ lệch chuẩn 3,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 24,5s₁ = 8,5n₂ = 15x̄₂ = 35,5s₂ = 3,595%t(24) = 2,064
giới hạn trên = kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 49 sinh viên có điểm trung bình 120,4 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,4s = 4n = 49
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,05 phải phát hiện được sự dịch chuyển 4 đơn vị của trung bình với lực 80%. Độ lệch chuẩn là 30. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
α = 0,05lực của kiểm định = 80%δ = 4σ = 30zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 48Σy = 379Σx² = 454Σy² = 25491Σxy = 3359
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 63?
n = 5ŷ = 63
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1802 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,01 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 1803 × 2α = 0,01
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · IV là một đặc điểm có sẵn, nên không thể phân bổ ngẫu nhiên người tham gia vào đó
Vì sao đây là đáp án
Trong thí nghiệm bán thực nghiệm, IV là sự khác biệt tự nhiên giữa con người. Không có phân bổ ngẫu nhiên, các khác biệt khác giữa các nhóm có thể gây nhiễu kết quả.
Đáp số
C · IV là một đặc điểm có sẵn, nên không thể phân bổ ngẫu nhiên người tham gia vào đó
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Tam giác hóa (triangulation)
Vì sao đây là đáp án
Tam giác hóa dùng nhiều phương pháp, nguồn hoặc nhà nghiên cứu. Sự đồng thuận giữa chúng làm tăng độ tin cậy vào độ giá trị của các phát hiện.
Đáp số
D · Tam giác hóa (triangulation)
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 4,967
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 189/7 = 27
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 0² + (−5)² + 8² + 5² + (−5)² + (−3)² + 0² = 148
Độ lệch chuẩn
s = √(148/6) = 4,967
Đáp số
s = 4,967
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,06681
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Đáp số
P = 0,06681
5.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 4,56
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,2 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3,2
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,25 = 14,8
Phương sai
Var(X) = 14,8 − 3,2² = 4,56
Đáp số
Var(X) = 4,56
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = 0,6 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 4 (p = 0,3), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 4·0,3 + 38·0,02 − 2·0,68 = 0,6 €
Đáp số
E(G) = 0,6 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6713
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5
z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05
Diện tích ở giữa
P = Φ(2,05) − Φ(−0,5) = 0,9798 − 0,3085 = 0,6713
Đáp số
P = 0,6713
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 551,3 h
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Quay lại x
x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h
Đáp số
x = 551,26 h
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 6,28 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 137,5 − 127,5 = 10
Sai số chuẩn
SE = √(20²/60 + 12²/40) = 3,204
Sai số biên
E = 1,96·3,204 = 6,28
Đáp số
E = 6,28 h
Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = −5,999 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (10·8,5² + 14·3,5²)/24 = 37,25
sp = 6,103
Sai số biên
E = 2,064·6,103·√(1/11 + 1/15) = 5,001
Khoảng
−11 ± 5,001 → [−16, −5,999]
Đáp số
giới hạn trên = −5,999 kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 0,7
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Thống kê kiểm định
t = (120,4 − 120)/0,5714 = 0,7
Đáp số
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 348
Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = ((1,645 + 0,842)·30/4)² = 347,9
Làm tròn lên
n = 348
Đáp số
n = 348
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9925
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 3359 − 48·379/6 = 327
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 25491 − 379²/6 = 1551
Hệ số tương quan
r = 327/√(70·1551) = 0,9925
Đáp số
r = 0,9925
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 2,486
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 371/5 = 74,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Đường hồi quy
b = 74/10 = 7,4
a = 74,2 − 7,4·4 = 44,6
ŷ = 44,6 + 7,4·x
Giải tìm x
x = (63 − 44,6)/7,4 = 2,486
Đáp số
x = 2,486
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 23,11
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
thành thị: 100·36/180 = 20, 100·54/180 = 30, 100·90/180 = 50
nông thôn: 80·36/180 = 16, 80·54/180 = 24, 80·90/180 = 40
Thống kê chi bình phương
χ² = (13 − 20)²/20 + (21 − 30)²/30 + (66 − 50)²/50 + (23 − 16)²/16 + (33 − 24)²/24 + (24 − 40)²/40
χ² = 23,11
Đáp số
χ² = 23,11
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 8,54
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
tuổi 18–30: 20, 20
tuổi 31–50: 20, 20
tuổi 51+: 50, 50
Thống kê chi bình phương
χ² = (27 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20 + (26 − 20)²/20 + (49 − 50)²/50 + (51 − 50)²/50
χ² = 8,54
Quyết định
df = 2, χ²crit = 9,210
8,54 < 9,210
Đáp số
χ² = 8,54
χ² nhỏ hơn giá trị tới hạn, nên H₀ không bị bác bỏ: chưa có bằng chứng đáng kể về mối quan hệ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology