Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Một sinh viên được 130 điểm trong một bài kiểm tra có trung bình 100 và độ lệch chuẩn 15. Điểm z là bao nhiêu?
- A1,5
- B2,0
- C3,0
- D0,5
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một phân tích tổng hợp kết hợp 40 nghiên cứu về một liệu pháp. Vì sao độ lớn hiệu ứng tổng thể của nó vẫn có thể quá lớn?
- AThiên lệch công bố nghĩa là các nghiên cứu null chưa công bố có thể bị thiếu
- BPhân tích tổng hợp không thể gồm các thử nghiệm ngẫu nhiên
- CPhân tích tổng hợp luôn cho hiệu ứng nhỏ hơn các nghiên cứu đơn lẻ mà nó bao gồm
- DKết hợp các nghiên cứu luôn loại bỏ mọi thiên lệch
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 34, 39, 41, 45, 57, 20, 49.
n = 7
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 164.
μ = 170σ = 5x = 164
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35
σ =
6.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 0,5X + 10. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3Y = 0,5X + 10
σY =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 490 và 574 h? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 574
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 10 phần tử có trung bình 70,5 và độ lệch chuẩn s = 10,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 10x̄ = 70,5s = 10,599%t(9) = 3,25
giới hạn trên =
10.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 15 ô, năng suất trung bình 37,5 kg, độ lệch chuẩn 10 kg. Nhóm ô 2: 16 ô, trung bình 41,5 kg, độ lệch chuẩn 6 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 15x̄₁ = 37,5s₁ = 10n₂ = 16x̄₂ = 41,5s₂ = 695%t(29) = 2,045
giới hạn dưới = kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 43,76 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 43,76s = 12n = 25
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 36 phép đo có trung bình 56,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 56,3σ = 15n = 3690%
L =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (28,5, 151) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(28,5, 151)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 9 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 9
df =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · 2,0
Vì sao đây là đáp án
(130 − 100) / 15 = 2. Điểm số cao hơn giá trị trung bình hai độ lệch chuẩn, cao hơn khoảng 97–98% số người.
Đáp số
B · 2,0
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Thiên lệch công bố nghĩa là các nghiên cứu null chưa công bố có thể bị thiếu
Vì sao đây là đáp án
Nếu các kết quả null ít được công bố hơn, hiệu ứng gộp bị thổi phồng. Biểu đồ phễu và việc tìm kiếm dữ liệu chưa công bố giúp phát hiện và giảm điều này.
Đáp số
A · Thiên lệch công bố nghĩa là các nghiên cứu null chưa công bố có thể bị thiếu
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 11,76
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 285/7 = 40,71
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−6,714)² + (−1,714)² + 0,2857² + 4,286² + 16,29² + (−20,71)² + 8,286² = 829,4
Độ lệch chuẩn
s = √(829,4/6) = 11,76
Đáp số
s = 11,76
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −1,2
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (164 − 170)/5 = −1,2
Đáp số
z = −1,2
5.Xác suất
Đáp số: σ = 2,216
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,2 + 2·0,1 + 4·0,35 + 6·0,35 = 3,7
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,1 + 16·0,35 + 36·0,35 = 18,6
Phương sai
Var(X) = 18,6 − 3,7² = 4,91
σ = √4,91 = 2,216
Đáp số
σ = 2,216
6.Xác suất
Đáp số: σY = 0,6144
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 1,3, Var(X) = 1,51, σX = 1,229
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |0,5|·1,229 = 0,6144
Đáp số
σY = 0,6144
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 0,5·1,3 + 10 = 10,65.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,5665
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25
z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,85) − Φ(−0,25) = 0,9678 − 0,4013 = 0,5665
Đáp số
P = 0,5665
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7389
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Đáp số
P = 0,7389
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 81,29
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Sai số biên
E = 3,25·10,5/√10 = 10,79
Khoảng
70,5 ± 10,79 → [59,71, 81,29]
Đáp số
giới hạn trên = 81,29
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −10,01 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (14·10² + 15·6²)/29 = 66,9
sp = 8,179
Sai số biên
E = 2,045·8,179·√(1/15 + 1/16) = 6,011
Khoảng
−4 ± 6,011 → [−10,01, 2,011]
Đáp số
giới hạn dưới = −10,01 kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,6
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Thống kê kiểm định
t = (43,76 − 50)/2,4 = −2,6
Đáp số
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 52,19
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·15/√36 = 4,112
Giới hạn của khoảng
L = 56,3 − 4,112 = 52,19
Đáp số
L = 52,19
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,99
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 531/5 = 106,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1373
Hệ số tương quan
r = 232/√(40·1373) = 0,99
Đáp số
r = 0,99
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 5,419
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 676/6 = 112,7
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 864
Đường hồi quy
b = 864/157,5 = 5,486
a = 112,7 − 5,486·22,5 = −10,76
ŷ = −10,76 + 5,486·x
Giá trị dự đoán
ŷ = −10,76 + 5,486·28,5 = 145,6
Phần dư
e = 151 − 145,6 = 5,419
Đáp số
e = 5,419
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 2,1
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40
nhân viên: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16
Thống kê chi bình phương
χ² = (33 − 30)²/30 + (27 − 30)²/30 + (40 − 40)²/40 + (9 − 12)²/12 + (15 − 12)²/12 + (16 − 16)²/16
χ² = 2,1
Đáp số
χ² = 2,1
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 7
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 9 − 1 − 1 = 7
Đáp số
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology