Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Trong một tương quan, r = 0,40. Tỷ lệ phương sai của một biến được chia sẻ với biến kia là bao nhiêu?
- A4%
- B16%
- C60%
- D40%
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một thang tự báo cáo thấy những người đồng ý với nhiều phát biểu đạt điểm cao bất kể nội dung. Đây là thiên lệch phản hồi nào và có thể giảm nó như thế nào?
- AThiên lệch mong muốn xã hội; dùng mẫu lớn hơn
- BHiệu ứng thứ tự; dùng cân bằng đối trọng người tham gia
- CĐặc điểm yêu cầu; dùng thiết kế mù đôi
- DThiên lệch đồng thuận; đưa vào các mục viết theo nghĩa đảo
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 11, 22, 44, 58, 13.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tìm điểm z z của điểm số 520.
μ = 500σ = 50x = 520
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,3, 0,3, 0,05
σ =
6.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 0,5X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35Y = 0,5X + 20
σY =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 88 và 127,75 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 100σ = 15x1 = 88x2 = 127,75
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 8 phần tử có trung bình 39 và độ lệch chuẩn s = 3. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 8x̄ = 39s = 390%t(7) = 1,895
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 38. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?
σ = 38E = 299%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 40 chi tiết có chiều dài trung bình 124 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 4 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 30 chi tiết có trung bình 120,3 mm, độ lệch chuẩn đã biết 15 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
n₁ = 40x̄₁ = 124 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 120,3 mmσ₂ = 15 mm
z =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,05 phải phát hiện được sự dịch chuyển 4 đơn vị của trung bình với lực 95%. Độ lệch chuẩn là 30. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
α = 0,05lực của kiểm định = 95%δ = 4σ = 30zα = 1,645zβ = 1,645
n =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 7.
n = 6x = 7
ŷ =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1202 × 2
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 4 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · 16%
Vì sao đây là đáp án
Hệ số xác định là r², ở đây 0,40² = 0,16, nên 16% phương sai được chia sẻ.
Đáp số
B · 16%
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Thiên lệch đồng thuận; đưa vào các mục viết theo nghĩa đảo
Vì sao đây là đáp án
Thiên lệch đồng thuận là xu hướng đồng ý với các mục. Trộn các mục diễn đạt tích cực và tiêu cực nghĩa là đồng ý với mọi thứ không còn tạo ra điểm cực đoan.
Đáp số
D · Thiên lệch đồng thuận; đưa vào các mục viết theo nghĩa đảo
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 20,57
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 148/5 = 29,6
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−18,6)² + (−7,6)² + 14,4² + 28,4² + (−16,6)² = 1693
Độ lệch chuẩn
s = √(1693/4) = 20,57
Đáp số
s = 20,57
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 0,4
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (520 − 500)/50 = 0,4
Đáp số
z = 0,4
5.Xác suất
Đáp số: σ = 1,136
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,15 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,05 = 1,9
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,05 = 4,9
Phương sai
Var(X) = 4,9 − 1,9² = 1,29
σ = √1,29 = 1,136
Đáp số
σ = 1,136
6.Xác suất
Đáp số: σY = 1,244
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,9, Var(X) = 6,19, σX = 2,488
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |0,5|·2,488 = 1,244
Đáp số
σY = 1,244
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 0,5·2,9 + 20 = 21,45.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,756
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (88 − 100)/15 = −0,8
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,85) − Φ(−0,8) = 0,9678 − 0,2119 = 0,756
Đáp số
P = 0,756
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9452
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Đáp số
P = 0,9452
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 36,99
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Sai số biên
E = 1,895·3/√8 = 2,01
Khoảng
39 ± 2,01 → [36,99, 41,01]
Đáp số
giới hạn dưới = 36,99
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 2396
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·38/2)² = 2396
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 2396
Đáp số
n = 2396
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,316
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(4²/40 + 15²/30) = √7,9 = 2,811
Thống kê kiểm định
z = (124 − 120,3)/2,811 = 1,316
Đáp số
z = 1,316
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 609
Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = ((1,645 + 1,645)·30/4)² = 608,9
Làm tròn lên
n = 609
Đáp số
n = 609
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9377
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 99/6 = 16,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 137,5
Hệ số xác định
r² = −47,5²/(17,5·137,5) = 0,9377
Đáp số
r² = 0,9377
Khoảng 93,77% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 87,67
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 526/6 = 87,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 472
Đường hồi quy
b = 472/70 = 6,743
a = 87,67 − 6,743·7 = 40,47
ŷ = 40,47 + 6,743·x
Dự đoán
ŷ = 40,47 + 6,743·7 = 87,67
Đáp số
ŷ = 87,67
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 30,63
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
thuốc mới: 80·72/120 = 48, 80·48/120 = 32
giả dược: 40·72/120 = 24, 40·48/120 = 16
Thống kê chi bình phương
χ² = (62 − 48)²/48 + (18 − 32)²/32 + (10 − 24)²/24 + (30 − 16)²/16
χ² = 30,63
Đáp số
χ² = 30,63
df = 1. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 3,841, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 5,991
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 4 − 1 − 1 = 2
Bảng
χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991
Đáp số
χ²crit = 5,991
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology