Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Alpha của Cronbach bằng 0,88 cho một thang đo lo âu 15 mục cho biết:
- AThang đo dự đoán tốt lo âu trong tương lai
- BTính nhất quán nội tại tốt của các mục
- CThang đo có tác động đáng kể lên lo âu
- DĐiểm số ổn định trong sáu tháng
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nghiên cứu thấy tương quan r = 0,05 giữa chiều cao và IQ chỉ ở các cầu thủ bóng rổ chuyên nghiệp, dù cao hơn trong dân số chung. Điều gì giải thích tốt nhất tương quan yếu này?
- AHiệu ứng trần trong các bài kiểm tra IQ
- BHạn chế phạm vi
- CĐặc điểm yêu cầu
- DHồi quy về trung bình
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 35, 11, 13, 22, 13, 14.
n = 6
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 42,5.
μ = 50σ = 5x = 42,5
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,35, 0,05, 0,35
Var(X) =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €5 với xác suất 0,25 và €10 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €1€5: p = 0,25€10: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
Khối lượng của bu lông là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 40 g và độ lệch chuẩn 1,2 g. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 8 trong số đó nhỏ hơn 326,8 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 326.8 g
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 6 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 2,2 và độ lệch chuẩn 5,5. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.
n = 6d̄ = 2,2sd = 5,595%t(5) = 2,571
E = mmHg
10.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 12 ô, năng suất trung bình 14,5 kg, độ lệch chuẩn 1,5 kg. Nhóm ô 2: 19 ô, trung bình 17 kg, độ lệch chuẩn 3 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 12x̄₁ = 14,5s₁ = 1,5n₂ = 19x̄₂ = 17s₂ = 390%t(29) = 1,699
E = kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 76,61 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76,61s = 5n = 81
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 100 với H₁: μ < 100 được thực hiện ở mức α = 0.05 với một mẫu 36; độ lệch chuẩn đã biết là 9. Trên thực tế trung bình là 98.5. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 100μ = 98,5σ = 9n = 36α = 0,05
1 − β = %
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 19?
n = 5ŷ = 19
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “sinh viên, ô tô”.
tổng hàng = 68tổng cột = 32N = 141
E =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,05 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Tính nhất quán nội tại tốt của các mục
Vì sao đây là đáp án
Alpha của Cronbach ước lượng tính nhất quán nội tại; các giá trị khoảng 0,7 trở lên thường được coi là chấp nhận được. Bản thân nó không chứng tỏ độ giá trị.
Đáp số
B · Tính nhất quán nội tại tốt của các mục
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Hạn chế phạm vi
Vì sao đây là đáp án
Khi mẫu chỉ bao phủ một phạm vi hẹp của một biến, các tương quan liên quan đến biến đó bị giảm. Các cầu thủ bóng rổ đều cao, nên chiều cao ít thay đổi.
Đáp số
B · Hạn chế phạm vi
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 9,165
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 108/6 = 18
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 17² + (−7)² + (−5)² + 4² + (−5)² + (−4)² = 420
Độ lệch chuẩn
s = √(420/5) = 9,165
Đáp số
s = 9,165
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −1,5
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (42,5 − 50)/5 = −1,5
Đáp số
z = −1,5
5.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 2,21
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,05 + 5·0,35 = 3,3
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,05 + 25·0,35 = 13,1
Phương sai
Var(X) = 13,1 − 3,3² = 2,21
Đáp số
Var(X) = 2,21
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = 0,45 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 4 (p = 0,25), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 4·0,25 + 9·0,02 − 1·0,73 = 0,45 €
Đáp số
E(G) = 0,45 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9772
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g
Chuẩn hóa
z = (326,8 − 320)/3,394 = 2
Xác suất
P = Φ(2) = 0,9772
Đáp số
P = 0,9772
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7881
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Chuẩn hóa
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 5,773 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 5, t = 2,571
Sai số biên
E = 2,571·5,5/√6 = 5,773
Đáp số
E = 5,773 mmHg
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 1,59 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (11·1,5² + 18·3²)/29 = 6,44
sp = 2,538
Sai số biên
E = 1,699·2,538·√(1/12 + 1/19) = 1,59
Đáp số
E = 1,59 kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,898
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Thống kê kiểm định
t = (76,61 − 75)/0,5556 = 2,898
Đáp số
t = 2,898
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 25,95 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 100 − 1,645·1,5 = 97,53
z theo trung bình thật
z = (97,53 − 98,5)/1,5 = −0,645
Công suất
lực của kiểm định = P(Z < −0.645) = 25.95%
1 − β = 25,95%
Đáp số
1 − β = 25,95%
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,991
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 507/6 = 84,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 409
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2434
Hệ số tương quan
r = 409/√(70·2434) = 0,991
Đáp số
r = 0,991
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 3,706
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Đường hồi quy
b = −17/10 = −1,7
a = 20,2 − (−1,7)·3 = 25,3
ŷ = 25,3 − 1,7·x
Giải tìm x
x = (19 − 25,3)/(−1,7) = 3,706
Đáp số
x = 3,706
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: E = 15,43
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
E = 68·32/141 = 15,43
Đáp số
E = 15,43
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 11,53
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
nhà máy A: 20, 20
nhà máy B: 30, 30
nhà máy C: 50, 50
Thống kê chi bình phương
χ² = (17 − 20)²/20 + (23 − 20)²/20 + (41 − 30)²/30 + (19 − 30)²/30 + (42 − 50)²/50 + (58 − 50)²/50
χ² = 11,53
Quyết định
df = 2, χ²crit = 5,991
11,53 > 5,991
Đáp số
χ² = 11,53
χ² lớn hơn giá trị tới hạn, nên H₀ bị bác bỏ: hai biến có vẻ liên quan với nhau.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology