Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Trong thiết kế đo lặp lại, có thể kiểm soát hiệu ứng thứ tự bằng:
- ACân bằng đối trọng (counterbalancing)
- BChỉ dùng mẫu lớn hơn
- CChọn mẫu ngẫu nhiên
- DQuy trình mù đơn
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nghiên cứu thấy tác động của căng thẳng lên bệnh tật yếu hơn ở những người có hỗ trợ xã hội mạnh. Hỗ trợ xã hội đang đóng vai trò là:
- ABiến phụ thuộc
- BBiến trung gian (mediator)
- CYếu tố gây nhiễu
- DBiến điều tiết (moderator)
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 22, 48, 45, 48, 50, 23.
n = 6
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 106.
μ = 100σ = 10x = 106
z =
5.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 8 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
8 / 7
P =
6.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 4
σY =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 199,8 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 6 phần tử có trung bình 52,5 và độ lệch chuẩn s = 17,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 6x̄ = 52,5s = 17,590%t(5) = 2,015
giới hạn trên =
10.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 10 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 8,6 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 9, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 2,7 và 2,5% nằm trên 19,023.
n = 10s = 8,6 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 122,8 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,8s = 20n = 25
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 25 trong 100 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 26 trong 200 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 26n₂ = 200
z =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 30Σy = 59Σx² = 220Σy² = 787Σxy = 412
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (25, 148) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(25, 148)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 4 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 4
df =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Cân bằng đối trọng (counterbalancing)
Vì sao đây là đáp án
Cân bằng đối trọng phân bố đều các hiệu ứng luyện tập và mệt mỏi giữa các điều kiện.
Đáp số
A · Cân bằng đối trọng (counterbalancing)
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Biến điều tiết (moderator)
Vì sao đây là đáp án
Biến điều tiết làm thay đổi độ mạnh hoặc chiều của mối quan hệ giữa hai biến. Biến trung gian giải thích cơ chế qua đó một biến tác động lên biến khác.
Đáp số
D · Biến điều tiết (moderator)
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 13,14
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 236/6 = 39,33
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−17,33)² + 8,667² + 5,667² + 8,667² + 10,67² + (−16,33)² = 863,3
Độ lệch chuẩn
s = √(863,3/5) = 13,14
Đáp số
s = 13,14
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 0,6
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (106 − 100)/10 = 0,6
Đáp số
z = 0,6
5.Xác suất
Đáp số: P = 0,2667
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667
Đáp số
P = 0,2667
6.Xác suất
Đáp số: σY = 1,609
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |−2|·0,8047 = 1,609
Đáp số
σY = 1,609
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·1,05 + 4 = 1,9.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6554
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Chuẩn hóa
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Đáp số
P = 0,6554
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9633
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Đáp số
P = 0,9633
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 66,9
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Sai số biên
E = 2,015·17,5/√6 = 14,4
Khoảng
52,5 ± 14,4 → [38,1, 66,9]
Đáp số
giới hạn trên = 66,9
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 15,7 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 9·8,6² = 665,6
Các giới hạn cho σ²
665,6/19,023 = 34,99
665,6/2,7 = 246,5
Giới hạn cho σ
σ = √246,5 = 15,7 µm
Đáp số
σ = 15,7 µm
Khoảng 95% cho σ: [5,915, 15,7] µm.
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 0,7
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Thống kê kiểm định
t = (122,8 − 120)/4 = 0,7
Đáp số
t = 0,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 2,608
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 25/100 = 0,25
p̂₂ = 26/200 = 0,13
p̂ = 51/300 = 0,17
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,17·0,83·(1/100 + 1/200)) = 0,04601
Thống kê kiểm định
z = (0,25 − 0,13)/0,04601 = 2,608
Đáp số
z = 2,608
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9624
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 412 − 30·59/5 = 58
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 787 − 59²/5 = 90,8
Hệ số tương quan
r = 58/√(40·90,8) = 0,9624
Đáp số
r = 0,9624
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 1,51
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 803/6 = 133,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 443
Đường hồi quy
b = 443/70 = 6,329
a = 133,8 − 6,329·23 = −11,72
ŷ = −11,72 + 6,329·x
Giá trị dự đoán
ŷ = −11,72 + 6,329·25 = 146,5
Phần dư
e = 148 − 146,5 = 1,51
Đáp số
e = 1,51
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 16,97
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35
nhân viên: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21
Thống kê chi bình phương
χ² = (27 − 20)²/20 + (33 − 45)²/45 + (40 − 35)²/35 + (5 − 12)²/12 + (39 − 27)²/27 + (16 − 21)²/21
χ² = 16,97
Đáp số
χ² = 16,97
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 2
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 4 − 1 − 1 = 2
Đáp số
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology