Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Độ tin cậy chia đôi (split-half) bao gồm:
- AChia mẫu thành nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rồi so sánh điểm của họ
- BDùng hai người quan sát, mỗi người một nửa số buổi
- CSo sánh điểm ở hai nửa của cùng một bài kiểm tra để kiểm tra tính nhất quán nội tại
- DKiểm tra hai nửa của mẫu vào các thời điểm khác nhau
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nghiên cứu với 10 người tham gia thấy một hiệu ứng lớn nhưng không có ý nghĩa thống kê. Kết luận phù hợp nhất là gì?
- AHiệu ứng chắc chắn là sai lầm loại I
- BĐộ lớn hiệu ứng chắc chắn bị tính sai
- CNghiên cứu chứng minh giả thuyết không là đúng, vì hiệu ứng không có ý nghĩa
- DNghiên cứu có thể thiếu lực thống kê, nên kết quả chưa thể kết luận
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 14, 30, 25, 25, 12, 57, 40.
n = 7
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 55.
μ = 50σ = 5x = 55
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,35
Var(X) =
6.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 3X + 20
σY =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 76,75 và 127,75 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 127,75
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 95% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 65 điểmσ = 10 điểm95%
x = điểm
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 6 phần tử có trung bình 17,5 và độ lệch chuẩn s = 11,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 6x̄ = 17,5s = 11,599%t(5) = 4,032
giới hạn trên =
10.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 11 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 9 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 10, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 3,247 và 2,5% nằm trên 20,483.
n = 11s = 9 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 55,8 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 55,8s = 8n = 16
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 81 phép đo có trung bình 74,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 74,4σ = 8n = 8195%
U =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 30Σy = 57Σx² = 220Σy² = 727Σxy = 396
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “sinh viên, ô tô”.
tổng hàng = 63tổng cột = 69N = 159
E =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 6 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 6
df =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · So sánh điểm ở hai nửa của cùng một bài kiểm tra để kiểm tra tính nhất quán nội tại
Vì sao đây là đáp án
Nếu cả hai nửa đo cùng một cấu trúc, điểm ở hai nửa phải tương quan cao. Alpha của Cronbach mở rộng ý tưởng này cho mọi cách chia có thể.
Đáp số
C · So sánh điểm ở hai nửa của cùng một bài kiểm tra để kiểm tra tính nhất quán nội tại
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Nghiên cứu có thể thiếu lực thống kê, nên kết quả chưa thể kết luận
Vì sao đây là đáp án
Với mẫu nhỏ, ngay cả hiệu ứng có thật cũng thường không đạt ý nghĩa thống kê (sai lầm loại II). Nhà nghiên cứu nên báo cáo độ lớn hiệu ứng và khoảng tin cậy rồi tái lập với mẫu lớn hơn.
Đáp số
D · Nghiên cứu có thể thiếu lực thống kê, nên kết quả chưa thể kết luận
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 15,56
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 203/7 = 29
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−15)² + 1² + (−4)² + (−4)² + (−17)² + 28² + 11² = 1452
Độ lệch chuẩn
s = √(1452/6) = 15,56
Đáp số
s = 15,56
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 1
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (55 − 50)/5 = 1
Đáp số
z = 1
5.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 121
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,15 + 40·0,35 = 27
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,15 + 1600·0,35 = 850
Phương sai
Var(X) = 850 − 27² = 121
Đáp số
Var(X) = 121
6.Xác suất
Đáp số: σY = 2,414
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |3|·0,8047 = 2,414
Đáp số
σY = 2,414
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·0,95 + 20 = 22,85.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9073
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,85) − Φ(−1,55) = 0,9678 − 0,06057 = 0,9073
Đáp số
P = 0,9073
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 48,6 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,05
z từ bảng
z ≈ −1,64
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 65 − 1,64·10 = 48,6 điểm
Đáp số
x = 48,6 điểm
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 36,43
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Sai số biên
E = 4,032·11,5/√6 = 18,93
Khoảng
17,5 ± 18,93 → [−1,43, 36,43]
Đáp số
giới hạn trên = 36,43
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 6,288 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 10·9² = 810
Các giới hạn cho σ²
810/20,483 = 39,54
810/3,247 = 249,5
Giới hạn cho σ
σ = √39,54 = 6,288 µm
Đáp số
σ = 6,288 µm
Khoảng 95% cho σ: [6,288, 15,79] µm.
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,9
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Thống kê kiểm định
t = (55,8 − 50)/2 = 2,9
Đáp số
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 76,14
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·8/√81 = 1,742
Giới hạn của khoảng
U = 74,4 + 1,742 = 76,14
Đáp số
U = 76,14
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9718
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 396 − 30·57/5 = 54
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 727 − 57²/5 = 77,2
Hệ số tương quan
r = 54/√(40·77,2) = 0,9718
Đáp số
r = 0,9718
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 50,26
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 294/6 = 49
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22
Đường hồi quy
b = 22/17,5 = 1,257
a = 49 − 1,257·4,5 = 43,34
ŷ = 43,34 + 1,257·x
Dự đoán
ŷ = 43,34 + 1,257·5,5 = 50,26
Đáp số
ŷ = 50,26
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: E = 27,34
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
E = 63·69/159 = 27,34
Đáp số
E = 27,34
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 5
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 6 − 1 = 5
Đáp số
df = 5
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology