Tín hiệu và hệ thống: gói ôn nước rút

Tích chập liên tục: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Lật h, trượt nó đến vị trí t và lấy tích phân của tích các phần chồng lên nhau. Với tín hiệu nhân quả, tích phân chạy từ 0 đến t. Một số kết quả hữu ích: diện tích của y bằng diện tích của x nhân diện tích của h; nếu x kéo dài từ t₁ đến t₂ và h từ t₃ đến t₄, thì y kéo dài từ t₁ + t₃ đến t₂ + t₄. Với h(t) = e^−atu(t) và một bước nhảy có độ cao A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Đáp ứng xung và chuỗi Fourier: đáp ứng xung h(t) mô tả hoàn toàn một hệ LTI: với y′ + a·y = b·x nó là h(t) = b·e^−atu(t), và với y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] nó là h[n] = b·aⁿu[n]. Một hàm cosin cos ωt đi qua với độ lợi |H(jω)| và pha ∠H(jω), trong đó H là biến đổi Fourier của h. Một tín hiệu tuần hoàn là tổng các họa âm tại k/T: sóng vuông ±A chỉ có các họa âm lẻ với biên độ 4A/(kπ), sóng tam giác có đỉnh A có 8A/(π²k²), và chuỗi xung có độ cao A và chu kỳ làm việc D có giá trị trung bình A·D và các họa âm (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jω_d với ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, thời gian đỉnh t_p = π/ω_d, và thời gian xác lập 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jω_d với ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, thời gian đỉnh t_p = π/ω_d, và thời gian xác lập 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ω_c = 1/(RC) hoặc R/L, và f_c = ω_c/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) và φ = −atan(ω/ω_c). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jω_c). Tần số cắt pha ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.

Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ω_c = 1/(RC) hoặc R/L, và f_c = ω_c/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) và φ = −atan(ω/ω_c). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jω_c). Tần số cắt pha ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.