Tín hiệu và hệ thống: bài tập và câu hỏi ôn thi

Tích chập rời rạc: đầu ra của một hệ tuyến tính bất biến theo thời gian là y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k]: lật h, dịch nó n vị trí, nhân từng mẫu với x và cộng lại. Nếu x có L_x mẫu bắt đầu tại n_x và h có L_h mẫu bắt đầu tại n_h, thì y có L_x + L_h − 1 mẫu bắt đầu tại n_x + n_h. Tổng mọi mẫu của y bằng (Σx)·(Σh). Một bộ lọc FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … là một tích chập với h[n] = b_n.

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).