Tích chập và hệ LTI: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Tích chập và hệ LTI miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: tích chập rời rạc, tích chập liên tục, đáp ứng xung và chuỗi Fourier.

Bài tập miễn phíDễ
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Các dãy x[n] = {−3, 2, 4, 3} và h[n] = {1, 1, 1} đều bắt đầu tại n = 0. Tìm mẫu y[1] của tích chập y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Bài tiếp theo →
Luyện tập Tích chập và hệ LTI miễn phíLuyện tập Tích chập và hệ LTI ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễtích chập rời rạc
  2. Trung bìnhtích chập liên tục
  3. Khóđáp ứng xung và chuỗi Fourier

Cách giải bài tập Tích chập và hệ LTI

  1. Vẽ phác cả hai tín hiệu và ghi chú nơi mỗi tín hiệu khác không.
  2. Lật h và trượt nó: với mỗi thời điểm đầu ra, tìm khoảng mà cả hai tín hiệu chồng lên nhau.
  3. Nhân và cộng (rời rạc) hoặc nhân và lấy tích phân (liên tục) chỉ trên phần chồng lên nhau đó.
  4. Kiểm tra kết quả: đầu ra bắt đầu tại tổng các thời điểm bắt đầu, kết thúc tại tổng các thời điểm kết thúc, và diện tích hoặc tổng của nó là tích các diện tích hoặc tổng của đầu vào.

Lỗi thường gặp

  • Nhân hai tín hiệu từng mẫu thay vì chập chúng.
  • Dịch h mà không lật, cho ra tương quan.
  • Dùng công thức đáp ứng bước nhảy khi đề hỏi đáp ứng xung, hoặc ngược lại.
  • Đếm sai số thứ tự họa âm: thành phần tại k/T là họa âm k.

Công thức chính

Tích chập rời rạc
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Tích chập liên tục
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Độ dài và tổng
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Bắt đầu, kết thúc và diện tích
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Bước nhảy vào e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Hệ bậc một
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Đệ quy bậc một
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Hàm sin qua h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Biên độ chuỗi Fourier
vuông ±A: 4A/(kπ), k lẻ; tam giác ±A: 8A/(π²k²), k lẻ; chuỗi xung: A·D và (2A/(kπ))|sin kπD|

Học Tích chập và hệ LTI từ đầu

Trước bài này: Tích phân

1Tích chập làm gì

Một hệ tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) được mô tả hoàn toàn bằng đáp ứng xung h: đầu ra của hệ khi đầu vào là một xung ngắn duy nhất.

Mọi tín hiệu vào đều có thể xem là một dãy các xung được nhân tỉ lệ và dịch thời gian. Mỗi xung tạo ra một bản sao của h được nhân tỉ lệ và dịch thời gian, và đầu ra là tổng của tất cả các bản sao. Tổng đó là tích chập y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Tích chập xuất hiện ở bất cứ đâu hệ có tính nhớ: bộ lọc, cảm biến, kết cấu, mạch điện và sự lan truyền của một tín hiệu theo thời gian.

Tự kiểm tra Một hệ có h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). Đầu vào chỉ là một mẫu x[0] = 2. Đầu ra là gì?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Đáp số: y[n] = {2, 6}. Một xung có độ cao 2 cho một bản sao của h nhân với 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Tích chập giữ nguyên dạng của h; nó không cộng các mẫu lại với nhau.

2Tích chập rời rạc từng bước

Với các dãy, tích chập là một tổng:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Lật h: h[−k] là ảnh của h đối xứng qua k = 0.
  2. Dịch h đã lật đi n.
  3. Nhân từng mẫu của nó với x rồi cộng các tích lại. Kết quả là y[n].
  4. Lặp lại với mọi n. Nếu x có Lx mẫu và h có Lh mẫu thì y có Lx + Lh − 1 mẫu, bắt đầu tại tổng của hai chỉ số bắt đầu.

Một cách kiểm tra nhanh: tổng mọi mẫu của y bằng (Σx)·(Σh).

Tự kiểm tra Với x[n] = {1, 2} và h[n] = {3, 1}, cả hai bắt đầu tại n = 0, y[1] bằng bao nhiêu?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Đáp số: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Chỉ nhân x[1]·h[1] cho 2, còn 6 chỉ giữ lại một trong hai tích.

3Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Tính tích chập của x[n] = {2, 1, −1} với h[n] = {1, 3}, cả hai bắt đầu tại n = 0.

1

Xem xét các dãy

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x có 3 mẫu và h có 2 mẫu, nên y có 3 + 2 − 1 = 4 mẫu, từ n = 0 đến n = 3.

2

y[0]

Chỉ x[0] và h[0] chồng lên nhau.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] và y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Kiểm tra đáp án

Σx = 2 và Σh = 4, nên Σy phải bằng 8. Đúng vậy: 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Đáp số

y[n] = {2, 7, 2, −3} với n = 0 … 3.

4Tích chập liên tục

Với tín hiệu thời gian liên tục, tổng trở thành tích phân:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Phương pháp vẫn như vậy: lật h, trượt nó đến vị trí t, rồi lấy tích phân của tích trên đoạn mà cả hai tín hiệu đều khác không.

x(t)t12h(t)t1

Với x(t) = 2 khi 0 ≤ t < 1 s và h(t) = e−tu(t), đầu ra trong lúc xung còn tồn tại là y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). Tại t = 1 s nó đạt 2(1 − e−1) = 1,26, và sau đó nó suy giảm theo 1,26·e−(t − 1).

  • y bắt đầu tại tổng của hai thời điểm bắt đầu và kết thúc tại tổng của hai thời điểm kết thúc.
  • Diện tích dưới y bằng diện tích dưới x nhân với diện tích dưới h.
  • Hai xung chữ nhật cho một hình thang; hai xung bằng nhau cho một hình tam giác.
Tự kiểm tra x(t) khác không từ 0 đến 2 s và h(t) từ 1 s đến 4 s. y(t) = x(t) ∗ h(t) kết thúc khi nào?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Đáp số: 6 s. y kết thúc tại tổng các thời điểm kết thúc: 2 + 4 = 6 s. Nó bắt đầu tại 0 + 1 = 1 s, nên kéo dài 5 s; 5 s là độ dài, không phải thời điểm kết thúc.

5Đáp ứng xung và chuỗi Fourier

Một hệ bậc nhất y′ + a·y = b·x có đáp ứng xung h(t) = b·e−atu(t). Dạng rời rạc tương ứng y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] có h[n] = b·aⁿ với n ≥ 0.

Một tín hiệu hình sin đi qua hệ LTI mà tần số không đổi. Nó được nhân với |H(jω)| và lệch pha một góc ∠H(jω), trong đó H là biến đổi Fourier của h. Với h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Một tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T là tổng của các sóng hài tại các tần số k/T. Một số biên độ chuẩn:

  • Sóng vuông giữa −A và +A: chỉ có k lẻ, biên độ 4A/(kπ).
  • Sóng tam giác giữa −A và +A: chỉ có k lẻ, biên độ 8A/(π²k²).
  • Chuỗi xung có độ cao A và chu kỳ làm việc D: giá trị trung bình A·D, sóng hài (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Tự kiểm tra Một sóng vuông chuyển giữa −2 và +2. Biên độ của sóng hài bậc ba là bao nhiêu?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Đáp số: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. Giá trị 2,546 là sóng cơ bản, 0,283 chia cho k² như với sóng tam giác, và 0,424 dùng 2A/(kπ), công thức của sóng từ 0 đến A.

6Lỗi thường gặp

  • Nhân hai tín hiệu từng mẫu thay vì chập chúng.
  • Trượt h mà không lật nó; như vậy cho tương quan, không phải tích chập.
  • Nhầm đáp ứng xung với đáp ứng bậc thang: đáp ứng bậc thang là tổng cộng dồn hoặc tích phân của h.
  • Đếm sai sóng hài: thành phần tại k/T là sóng hài bậc k.
Tự kiểm tra x[n] = {1, 2} và h[n] = {1, 1}, cả hai từ n = 0. y[1] bằng bao nhiêu?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Đáp số: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Tích từng mẫu x[1]·h[1] chỉ cho 2.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: tích chập rời rạc. Bạn tìm một mẫu của đầu ra, mẫu lớn nhất, tổng của mọi mẫu, chỉ số đầu hoặc cuối của y, đầu ra của bộ lọc FIR, hoặc đáp ứng với bậc thang.
  • Trung bình: tích chập liên tục. Bạn tìm y(t) tại một thời điểm cho trước với hai xung, một hàm mũ với một bậc thang hoặc một xung, hoặc hai hàm mũ, cùng với diện tích, điểm bắt đầu, điểm kết thúc hoặc độ dài của y.
  • Khó: đáp ứng xung và chuỗi Fourier. Bạn tìm h(t) của một phương trình vi phân bậc nhất, h[n] hoặc đáp ứng bậc thang của một hệ đệ quy, độ lợi hoặc pha với một tín hiệu hình sin, hoặc một sóng hài của sóng vuông, sóng tam giác hay chuỗi xung.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Các dãy x[n] = {4, −3, −2} và h[n] = {3, 1} đều bắt đầu tại n = 0. Tìm mẫu y[1] của tích chập y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Tìm y[1]

Hiện các gợi ý
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Với n = 1 các số hạng là k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Tích chập rời rạc: đầu ra của một hệ tuyến tính bất biến theo thời gian là y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: lật h, dịch nó n vị trí, nhân từng mẫu với x và cộng lại. Nếu x có Lx mẫu bắt đầu tại nx và h có Lh mẫu bắt đầu tại nh, thì y có Lx + Lh − 1 mẫu bắt đầu tại nx + nh. Tổng mọi mẫu của y bằng (Σx)·(Σh). Một bộ lọc FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … là một tích chập với h[n] = bn.

Các số hạng của tổng

Chỉ những k mà cả x[k] và h[n − k] đều tồn tại mới đóng góp.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Cộng lại

y[1] = −5

Đáp số

y[1] = −5
Ví dụ 2Trung bình
x(t)t11h(t)t1

Xung x(t) = 1 với 0 ≤ t < 1 s (bằng không ở nơi khác) được đưa vào một hệ có h(t) = e−2tu(t). Tìm đầu ra y(2,5) tại t = 2,5 s, sau khi xung đã kết thúc.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Tìm y(2.5)

Hiện các gợi ý
  1. Viết xung dưới dạng một bước nhảy tại t = 0 trừ một bước nhảy tại t = 1 s.
  2. Đáp ứng bước nhảy là (A/a)(1 − e−at).
  3. Sau xung: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Tích chập liên tục: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Lật h, trượt nó đến vị trí t và lấy tích phân của tích các phần chồng lên nhau. Với tín hiệu nhân quả, tích phân chạy từ 0 đến t. Một số kết quả hữu ích: diện tích của y bằng diện tích của x nhân diện tích của h; nếu x kéo dài từ t₁ đến t₂ và h từ t₃ đến t₄, thì y kéo dài từ t₁ + t₃ đến t₂ + t₄. Với h(t) = e−atu(t) và một bước nhảy có độ cao A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Đầu ra ở cuối xung

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Suy giảm sau xung

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Đáp số

y(2,5) = 0,02152
Ví dụ 3Khó
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Một hệ tuân theo y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Tìm đáp ứng xung của nó tại t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Tìm h(0.05)

Hiện các gợi ý
  1. Lấy biến đổi Laplace với điều kiện đầu bằng không: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Đáp ứng xung và chuỗi Fourier: đáp ứng xung h(t) mô tả hoàn toàn một hệ LTI: với y′ + a·y = b·x nó là h(t) = b·e−atu(t), và với y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] nó là h[n] = b·aⁿu[n]. Một hàm cosin cos ωt đi qua với độ lợi |H(jω)| và pha ∠H(jω), trong đó H là biến đổi Fourier của h. Một tín hiệu tuần hoàn là tổng các họa âm tại k/T: sóng vuông ±A chỉ có các họa âm lẻ với biên độ 4A/(kπ), sóng tam giác có đỉnh A có 8A/(π²k²), và chuỗi xung có độ cao A và chu kỳ làm việc D có giá trị trung bình A·D và các họa âm (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Hàm truyền

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Đáp ứng xung

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Đáp số

h(0,05) = 2,336

Câu hỏi thường gặp

Tích chập và hệ LTI là gì?

Một hệ tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) được mô tả hoàn toàn bằng đáp ứng xung h: đầu ra của hệ khi đầu vào là một xung ngắn duy nhất.

Mọi tín hiệu vào đều có thể xem là một dãy các xung được nhân tỉ lệ và dịch thời gian. Mỗi xung tạo ra một bản sao của h được nhân tỉ lệ và dịch thời gian, và đầu ra là tổng của tất cả các bản sao. Tổng đó là tích chập y = x ∗ h.

Làm thế nào để giải bài tập Tích chập và hệ LTI từng bước?
  1. Vẽ phác cả hai tín hiệu và ghi chú nơi mỗi tín hiệu khác không.
  2. Lật h và trượt nó: với mỗi thời điểm đầu ra, tìm khoảng mà cả hai tín hiệu chồng lên nhau.
  3. Nhân và cộng (rời rạc) hoặc nhân và lấy tích phân (liên tục) chỉ trên phần chồng lên nhau đó.
  4. Kiểm tra kết quả: đầu ra bắt đầu tại tổng các thời điểm bắt đầu, kết thúc tại tổng các thời điểm kết thúc, và diện tích hoặc tổng của nó là tích các diện tích hoặc tổng của đầu vào.
Những lỗi thường gặp trong Tích chập và hệ LTI là gì?
  • Nhân hai tín hiệu từng mẫu thay vì chập chúng.
  • Dịch h mà không lật, cho ra tương quan.
  • Dùng công thức đáp ứng bước nhảy khi đề hỏi đáp ứng xung, hoặc ngược lại.
  • Đếm sai số thứ tự họa âm: thành phần tại k/T là họa âm k.
Các bài tập Tích chập và hệ LTI bao gồm những gì?
  • Dễ: tích chập rời rạc
  • Trung bình: tích chập liên tục
  • Khó: đáp ứng xung và chuỗi Fourier

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Tích phân

Các môn học có chủ đề này

Tín hiệu và hệ thốngToán kỹ thuật 2

Thêm chủ đề trong Điện

Điện trở nối tiếp và song songNguyên lý xếp chồngThévenin và NortonPhương pháp điện thế nútPhương pháp dòng điện mạch vòngQuá độ RC và RLTổng trở xoay chiều và phasorCông suất xoay chiều và hệ số công suấtCộng hưởng LC, hệ số Q và băng thôngCông suất ba phaMáy biến ápĐộng cơ một chiềuMạch khuếch đại thuật toánDiode và transistorBộ biến đổi DC-DCLogic số: cổng, bìa K và flip-flopCầu Wheatstone và cảm biến biến dạngThu thập dữ liệu và lấy mẫuBiến đổi LaplaceSơ đồ khốiĐáp ứng bướcBiểu đồ Bode và độ dự trữỔn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmSai số xác lập và điều khiển PID

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Tích chập và hệ LTI có đáp án
Luyện tập Tích chập và hệ LTI miễn phíLuyện tập Tích chập và hệ LTI ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.