Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: tần số riêng, Q và năng lượng, RLC nối tiếp và song song, thiết kế, tổn hao và suy giảm.

Bài tập miễn phíDễ
C = ?L = 4,7 mH

Một mạch LC có L = 4,7 mH phải cộng hưởng ở 50 kHz. Tìm điện dung C theo nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Bài tiếp theo →
Luyện tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông miễn phíLuyện tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễtần số riêng, Q và năng lượng
  2. Trung bìnhRLC nối tiếp và song song
  3. Khóthiết kế, tổn hao và suy giảm

Cách giải bài tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông

  1. Trước hết tìm tần số cộng hưởng: ω₀ = 1/√(LC) và f₀ = ω₀/(2π).
  2. Quyết định mạch là nối tiếp hay song song: nối tiếp Q = (1/R)√(L/C), song song Q = R√(C/L).
  3. Dùng BW = f₀/Q cho băng thông, hoặc các công thức tắt R/(2πL) (nối tiếp) và 1/(2πRC) (song song).
  4. Với các câu hỏi về năng lượng, dùng việc tổng năng lượng ½CV₀² không đổi trong mạch LC lý tưởng và dao động giữa C và L sau mỗi phần tư chu kỳ.

Lỗi thường gặp

  • Nhầm ω₀ (rad/s) với f₀ (Hz): chúng khác nhau hệ số 2π.
  • Dùng công thức Q nối tiếp cho mạch song song, nơi R lớn hơn nghĩa là Q cao hơn.
  • Đặt f₀ ở giữa f₁ và f₂: nó là trung bình nhân √(f₁f₂) của hai tần số này.
  • Quên đổi µH, nF và pF sang H và F.

Công thức chính

Tần số riêng
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Năng lượng
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Dòng đỉnh
Imax = V0√(C/L)
Hệ số phẩm chất
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC nối tiếp
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC song song
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Băng thông
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Các tần số công suất một nửa
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Mạch cộng hưởng song song với điện trở cuộn dây r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Sự suy giảm biên độ
e−Rt/(2L)

Học Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông từ đầu

Trước bài này: Tổng trở xoay chiều và phasor

1Điều gì xảy ra trong mạch LC

Nạp điện cho một tụ điện rồi nối nó với một cuộn cảm. Tụ điện đẩy một dòng điện qua cuộn dây. Dòng điện tạo ra từ trường, và khi tụ điện đã hết điện, từ trường giữ cho dòng điện tiếp tục chạy, nên tụ điện được nạp theo chiều ngược lại. Sau đó mọi thứ chạy ngược trở lại.

C+−Li

Năng lượng dao động giữa điện trường của C (½Cv²) và từ trường của L (½Li²), như con lắc dao động giữa độ cao và tốc độ. Không có điện trở thì tổng năng lượng ½CV0² giữ nguyên.

Tự kiểm tra Tại thời điểm điện áp tụ điện bằng không, năng lượng của mạch LC lý tưởng nằm ở đâu?
  1. Một nửa ở C và một nửa ở L
  2. Nó đã mất đi dưới dạng nhiệt
  3. Toàn bộ ở cuộn cảm, và dòng điện ở đỉnh
  4. Toàn bộ ở tụ điện

Đáp số: Toàn bộ ở cuộn cảm, và dòng điện ở đỉnh. Với v = 0, tụ điện chứa ½Cv² = 0, nên toàn bộ năng lượng là ½Li² trong cuộn cảm: dòng điện đạt cực đại. Mạch lý tưởng không có điện trở, nên không có gì bị mất.

2Tần số riêng

Mạch dao động ở tần số mà tại đó cảm kháng của L và dung kháng của C bằng nhau, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Với L = 10 mH và C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s và f0 = 1592 Hz. Năng lượng chuyển từ C sang L trong một phần tư chu kỳ T = 1/f0.

Năng lượng cũng cho dòng điện đỉnh: ½CV0² = ½LImax², nên Imax = V0√(C/L).

Tự kiểm tra f0 thay đổi thế nào khi bạn tăng gấp đôi C?
  1. Giảm một nửa
  2. Giảm xuống f0/√2, khoảng 0,71·f0
  3. Tăng gấp đôi
  4. Tăng lên √2 lần

Đáp số: Giảm xuống f0/√2, khoảng 0,71·f0. f0 tỉ lệ với 1/√C, nên tăng gấp đôi C thì chia nó cho √2. Nó chỉ giảm một nửa khi C lớn gấp bốn lần.

3Hệ số phẩm chất và băng thông

Mạch thực tế mất năng lượng trong điện trở. Hệ số phẩm chất Q so sánh năng lượng tích trữ với năng lượng tổn hao: Q = 2π·(năng lượng tích trữ)/(năng lượng mất mỗi chu kỳ). Q cao cho đỉnh cộng hưởng nhọn.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

Băng thông là độ rộng của đỉnh giữa các tần số công suất một nửa f1 và f2, nơi dòng điện bằng 0,707 giá trị đỉnh:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • RLC nối tiếp: Q = (1/R)·√(L/C) và BW = R/(2πL). Điện trở nối tiếp nhỏ cho Q cao.
  • RLC song song: Q = R·√(C/L) và BW = 1/(2πRC). Điện trở song song lớn cho Q cao.

4Phương pháp từng bước

  1. Đổi L và C sang H và F, rồi tìm ω0 = 1/√(LC) và f0 = ω0/(2π).
  2. Xác định R mắc nối tiếp hay song song, và dùng công thức Q tương ứng.
  3. Tìm băng thông BW = f0/Q.
  4. Với các tần số công suất một nửa dùng f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); với Q cao, f0 ∓ BW/2 là gần đúng.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một mạch RLC nối tiếp có R = 10 Ω, L = 10 mH và C = 1 µF. Tìm tần số cộng hưởng, hệ số phẩm chất, băng thông và các tần số công suất một nửa của nó.

1

Quan sát mạch

RLC

Cả ba phần tử mang cùng một dòng điện, nên đây là mạch nối tiếp.

2

Tần số cộng hưởng

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Hệ số phẩm chất

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Băng thông

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Kiểm tra: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Các tần số công suất một nửa

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz và 1673 Hz

Kiểm tra: 1673 − 1514 = 159 Hz, và √(1514·1673) = 1592 Hz.

Đáp số

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz và f2 = 1,67 kHz.

6Lỗi thường gặp

  • Nhầm ω0 tính bằng rad/s với f0 tính bằng Hz: chúng khác nhau hệ số 2π.
  • Dùng công thức Q nối tiếp cho mạch song song.
  • Đặt f0 ở giữa f1 và f2: nó là trung bình nhân của hai tần số này.
  • Quên đổi mH, µH, nF và pF sang H và F.
Tự kiểm tra Một mạch RLC song song có R = 10 kΩ, L = 10 mH và C = 1 µF. Q của nó bằng bao nhiêu?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Đáp số: 100. Với mạch song song, Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. Công thức nối tiếp (1/R)·√(L/C) cho 0,01, và bỏ căn bậc hai cho 1.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: tần số riêng, Q và năng lượng. Bạn tìm f0 hoặc C ứng với một f0 cho trước, băng thông từ Q hoặc Q từ băng thông, năng lượng tích trữ hoặc dòng điện đỉnh.
  • Trung bình: RLC nối tiếp và song song. Bạn tìm Q hoặc băng thông của mạch nối tiếp hoặc song song, tần số công suất một nửa chính xác, thời gian để năng lượng chuyển từ C sang L, hoặc năng lượng trong L tại một điện áp tụ điện cho trước.
  • Khó: thiết kế, tổn hao và suy giảm. Bạn chọn R cho một băng thông hoặc C cho một bộ lọc, tìm năng lượng mất mỗi chu kỳ, điện trở động của mạch cộng hưởng song song, số chu kỳ cho đến khi biên độ giảm một nửa, hoặc Q từ hai tần số công suất một nửa.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
C = ?L = 47 µH

Một mạch LC có L = 47 µH phải cộng hưởng ở 500 kHz. Tìm điện dung C theo nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Tìm C (nF)

Hiện các gợi ý
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Cộng hưởng LC: một tụ điện đã nạp nối với một cuộn cảm tạo ra dòng điện nạp nó theo chiều ngược lại: năng lượng dao động giữa điện trường của C (½Cv²) và từ trường của L (½Li²) ở tần số riêng f0 = 1/(2π√(LC)). Không có điện trở thì tổng năng lượng ½CV0² không đổi, nên dòng điện đỉnh là Imax = V0√(C/L). Một chu kỳ là T = 1/f0; năng lượng chuyển từ C sang L trong một phần tư chu kỳ.

Tần số góc

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Điện dung

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Đáp số

C = 2,156 nF
Ví dụ 2Trung bình
V2 Ω2,2 mH220 nF

Một mạch RLC nối tiếp có R = 2 Ω, L = 2,2 mH và C = 220 nF. Tìm băng thông BW của nó theo Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Tìm BW (Hz)

Hiện các gợi ý
  1. Băng thông là f₀/Q.
  2. Với RLC nối tiếp, điều này rút gọn thành BW = R/(2πL): C biến mất.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hệ số phẩm chất và băng thông: trong mạch cộng hưởng, Q = 2π·(năng lượng tích trữ)/(năng lượng mất mỗi chu kỳ). Với RLC nối tiếp, Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); với RLC song song, Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Băng thông giữa các tần số công suất một nửa f1 và f2 (nơi công suất bằng một nửa và dòng điện hoặc điện áp bằng 1/√2 giá trị đỉnh) là BW = f2 − f1 = f0/Q, bằng R/(2πL) với mạch nối tiếp và 1/(2πRC) với mạch song song. Tần số cộng hưởng là trung bình nhân f0 = √(f1f2), và f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Tổn hao cũng làm dao động tắt dần: trong RLC nối tiếp, biên độ giảm theo e−Rt/(2L).

Băng thông theo rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Băng thông theo Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Đáp số

BW = 144,7 Hz

Với f₀ = 7,234 kHz, ta được Q = 50.

Ví dụ 3Khó
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Một mạch cộng hưởng song song gồm một tụ điện 10 nF và một cuộn dây 47 µH có điện trở dây quấn 0,5 Ω. Tại cộng hưởng nó hoạt động như một điện trở, điện trở động RD = L/(C·r). Tìm RD theo kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Tìm RD (kΩ)

Hiện các gợi ý
  1. Mạch cộng hưởng chỉ lấy dòng nhỏ tại cộng hưởng, nên trở kháng của nó lớn.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hệ số phẩm chất và băng thông: trong mạch cộng hưởng, Q = 2π·(năng lượng tích trữ)/(năng lượng mất mỗi chu kỳ). Với RLC nối tiếp, Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); với RLC song song, Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Băng thông giữa các tần số công suất một nửa f1 và f2 (nơi công suất bằng một nửa và dòng điện hoặc điện áp bằng 1/√2 giá trị đỉnh) là BW = f2 − f1 = f0/Q, bằng R/(2πL) với mạch nối tiếp và 1/(2πRC) với mạch song song. Tần số cộng hưởng là trung bình nhân f0 = √(f1f2), và f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Tổn hao cũng làm dao động tắt dần: trong RLC nối tiếp, biên độ giảm theo e−Rt/(2L).

Điện trở động

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Kiểm tra bằng Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Đáp số

RD = 9,4 kΩ

Câu hỏi thường gặp

Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông là gì?

Nạp điện cho một tụ điện rồi nối nó với một cuộn cảm. Tụ điện đẩy một dòng điện qua cuộn dây. Dòng điện tạo ra từ trường, và khi tụ điện đã hết điện, từ trường giữ cho dòng điện tiếp tục chạy, nên tụ điện được nạp theo chiều ngược lại. Sau đó mọi thứ chạy ngược trở lại.

Năng lượng dao động giữa điện trường của C (½Cv²) và từ trường của L (½Li²), như con lắc dao động giữa độ cao và tốc độ. Không có điện trở thì tổng năng lượng ½CV0² giữ nguyên.

Làm thế nào để giải bài tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông từng bước?
  1. Trước hết tìm tần số cộng hưởng: ω₀ = 1/√(LC) và f₀ = ω₀/(2π).
  2. Quyết định mạch là nối tiếp hay song song: nối tiếp Q = (1/R)√(L/C), song song Q = R√(C/L).
  3. Dùng BW = f₀/Q cho băng thông, hoặc các công thức tắt R/(2πL) (nối tiếp) và 1/(2πRC) (song song).
  4. Với các câu hỏi về năng lượng, dùng việc tổng năng lượng ½CV₀² không đổi trong mạch LC lý tưởng và dao động giữa C và L sau mỗi phần tư chu kỳ.
Những lỗi thường gặp trong Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông là gì?
  • Nhầm ω₀ (rad/s) với f₀ (Hz): chúng khác nhau hệ số 2π.
  • Dùng công thức Q nối tiếp cho mạch song song, nơi R lớn hơn nghĩa là Q cao hơn.
  • Đặt f₀ ở giữa f₁ và f₂: nó là trung bình nhân √(f₁f₂) của hai tần số này.
  • Quên đổi µH, nF và pF sang H và F.
Các bài tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông bao gồm những gì?
  • Dễ: tần số riêng, Q và năng lượng
  • Trung bình: RLC nối tiếp và song song
  • Khó: thiết kế, tổn hao và suy giảm

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Tổng trở xoay chiều và phasor

Máy tính

Máy tính tần số cộng hưởng (LC và RLC)

Các môn học có chủ đề này

Phân tích mạch điện 2: mạch xoay chiều

Thêm chủ đề trong Điện

Điện trở nối tiếp và song songNguyên lý xếp chồngThévenin và NortonPhương pháp điện thế nútPhương pháp dòng điện mạch vòngQuá độ RC và RLTổng trở xoay chiều và phasorCông suất xoay chiều và hệ số công suấtCông suất ba phaMáy biến ápĐộng cơ một chiềuMạch khuếch đại thuật toánDiode và transistorBộ biến đổi DC-DCLogic số: cổng, bìa K và flip-flopCầu Wheatstone và cảm biến biến dạngThu thập dữ liệu và lấy mẫuBiến đổi LaplaceSơ đồ khốiĐáp ứng bướcBiểu đồ Bode và độ dự trữỔn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmSai số xác lập và điều khiển PIDTích chập và hệ LTI

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông có đáp án
Luyện tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông miễn phíLuyện tập Cộng hưởng LC, hệ số Q và băng thông ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.