Sai số xác lập và điều khiển PID: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Sai số xác lập và điều khiển PID miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: loại hệ thống và hằng số sai số, sai số xác lập và độ lợi, thiết kế P, PI và PD.

Bài tập miễn phíDễ
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Một vòng phản hồi đơn vị có hàm truyền vòng hở G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Tìm hằng số sai số vận tốc Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
Bài tiếp theo →
Luyện tập Sai số xác lập và điều khiển PID miễn phíLuyện tập Sai số xác lập và điều khiển PID ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễloại hệ thống và hằng số sai số
  2. Trung bìnhsai số xác lập và độ lợi
  3. Khóthiết kế P, PI và PD

Cách giải bài tập Sai số xác lập và điều khiển PID

  1. Đếm các cực của vòng hở C(s)·G(s) tại s = 0: đó là loại của hệ.
  2. Tính hằng số sai số khớp với đầu vào: Kp cho bước nhảy, Kv cho tín hiệu dốc, Ka cho parabol.
  3. Áp dụng ess = A/(1 + Kp), A/Kv hay A/Ka, hoặc giải nó theo độ lợi bạn cần.
  4. Với yêu cầu về độ cản hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Lỗi thường gặp

  • Dùng A/Kp thay vì A/(1 + Kp) cho bước nhảy.
  • Quên độ lợi của đối tượng khi cân bằng hệ số: độ lợi vòng là K nhân độ lợi của đối tượng.
  • Bỏ qua bộ tích phân của bộ điều khiển khi đếm loại của hệ.
  • Mong rằng chỉ một độ lợi tỉ lệ sẽ loại bỏ sai số bước nhảy trong vòng loại 0.

Công thức chính

Loại của hệ
số cực của G(s) tại s = 0
Hằng số sai số
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Bước nhảy A
ess = A/(1 + Kp)
Tín hiệu dốc A·t
ess = A/Kv
Parabol A·t²/2
ess = A/Ka
Bộ điều khiển PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Mục tiêu bậc hai
s² + 2ζωns + ωn²
Độ vượt quá và thời gian
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Học Sai số xác lập và điều khiển PID từ đầu

Trước bài này: Sơ đồ khối, Đáp ứng bước

1Bám theo một lệnh

Một vòng hồi tiếp so sánh lệnh r với đầu ra y và tác động lên sai số e = r − y. Lý tưởng thì đầu ra cuối cùng đúng bằng lệnh.

Thường thì không như vậy. Sau khi quá trình quá độ đã tắt, vẫn có thể còn một khoảng chênh: sai số xác lập ess.

tyress​

ess lớn bao nhiêu phụ thuộc vào loại tín hiệu vào (bậc thang, dốc hay parabol) và vào số bộ tích phân trong vòng.

Tự kiểm tra Một vòng hồi tiếp đơn vị nhận r = 1 và đầu ra của nó ổn định ở y = 0,95. Sai số xác lập là bao nhiêu?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Đáp số: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. Bản thân đầu ra là 0,95, và dấu dương vì đầu ra vẫn nằm dưới lệnh.

2Loại hệ thống và các hằng số sai số

Loại hệ thống là số cực của vòng hở G(s) tại s = 0, tức là số bộ tích phân. G(s) = 10/(s(s + 5)) có một, nên là loại 1.

Ba hằng số sai số tóm tắt G(s) ở tần số rất thấp (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Với định lý giá trị cuối, chúng cho sai số ứng với từng loại tín hiệu vào:

bậc thang A: A/(1 + Kp) dốc A·t: A/Kv parabol A·t²/2: A/Ka
  • Loại 0: sai số bậc thang hữu hạn, sai số dốc vô hạn.
  • Loại 1: sai số bậc thang bằng không, sai số dốc hữu hạn.
  • Loại 2: sai số bậc thang và dốc bằng không, sai số parabol hữu hạn.
Tự kiểm tra Hằng số sai số vận tốc Kv của G(s) = 10/(s(s + 5)) là bao nhiêu?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Đáp số: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), bằng 10/5 = 2 tại s = 0. Giá trị 0,5 là sai số dốc 1/Kv, không phải hằng số.

3Phương pháp từng bước

  1. Viết vòng hở: bộ điều khiển nhân đối tượng, C(s)·G(s).
  2. Đếm số cực của nó tại s = 0 để biết loại hệ thống.
  3. Chọn hằng số sai số ứng với tín hiệu vào: Kp cho bậc thang, Kv cho dốc, Ka cho parabol.
  4. Tính giới hạn: giản ước các thừa số s, rồi thay s = 0 vào phần còn lại.
  5. Áp dụng công thức sai số, hoặc giải nó để tìm độ lợi cho sai số yêu cầu.

Với yêu cầu về hệ số tắt dần hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín rồi đồng nhất với s² + 2ζωns + ωn².

4Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một vòng hồi tiếp đơn vị có G(s) = K/(s(s + 4)). Nó phải bám tín hiệu dốc r(t) = 2t với sai số xác lập 0,1. Tìm K và hệ số tắt dần thu được.

1

Tìm loại hệ thống

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) có một cực tại s = 0, nên vòng là loại 1: tín hiệu dốc cho sai số hữu hạn.

2

Hằng số vận tốc

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Kv cần thiết

Độ dốc của tín hiệu là A = 2, nên ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Độ khuếch đại

K = 4·Kv = 80
5

Kiểm tra hệ số tắt dần

Đa thức đặc trưng là s² + 4s + 80, nên ωn = √80 = 8,94 rad/s và ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Sai số đạt yêu cầu, nhưng đáp ứng bậc thang vọt lố khoảng 49 %. Sự đánh đổi đó là lý do bộ điều khiển không chỉ là một độ lợi đơn.

Đáp số

K = 80, cho ζ = 0,22.

5Bộ điều khiển P, PI và PID

Bộ điều khiển PID kết hợp ba tác động lên sai số:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Tỉ lệ (Kp): vòng nhanh hơn và sai số nhỏ hơn với đối tượng loại 0, nhưng sai số bậc thang không bao giờ về không.
  • Tích phân (Ki/s): thêm một cực tại s = 0, nên loại tăng thêm một và tín hiệu bậc thang được bám không có sai số.
  • Vi phân (Kd·s): thêm độ tắt dần và giảm độ vọt lố.

Để chọn các hệ số, đồng nhất hệ số. Một bộ PI trên G(s) = 2/(s + 3) cho đa thức đặc trưng s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Với ωn = 5 rad/s và ζ = 0,8, đa thức mục tiêu là s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Tự kiểm tra Thêm một bộ tích phân vào bộ điều khiển của vòng loại 0. Sai số xác lập với bậc thang đơn vị thay đổi thế nào?
  1. Lớn hơn
  2. Nhỏ hơn nhưng không bằng không
  3. Trở thành không
  4. Trở thành vô hạn

Đáp số: Trở thành không. Bộ tích phân làm vòng thành loại 1, nên Kp là vô hạn và A/(1 + Kp) = 0. Chỉ tăng độ lợi tỉ lệ thì sai số chỉ nhỏ đi.

6Lỗi thường gặp

  • Dùng A/Kp thay cho A/(1 + Kp) với bậc thang.
  • Quên độ lợi của đối tượng khi đồng nhất hệ số: độ lợi vòng bằng độ lợi bộ điều khiển nhân độ lợi đối tượng.
  • Chỉ đếm các bộ tích phân của đối tượng mà bỏ sót bộ tích phân trong bộ điều khiển PI.
  • Bỏ các zero khi tính Kv: thừa số (s + 3) có giá trị 3 tại s = 0.
Tự kiểm tra Một bậc thang có biên độ 5 được đặt vào vòng loại 0 với Kp = 9. Sai số xác lập là bao nhiêu?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Đáp số: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Chia chỉ cho Kp cho 0,556, bỏ biên độ bậc thang cho 0,1, còn 4,5 là đầu ra cuối cùng.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: loại hệ thống và các hằng số sai số. Bạn tìm loại, Kp, Kv hoặc Ka của một hàm truyền, sai số với bậc thang, hoặc đầu ra cuối cùng của vòng có điều khiển P.
  • Trung bình: sai số xác lập và độ lợi. Bạn tìm sai số với tín hiệu dốc, parabol hoặc bậc thang cộng dốc, hoặc độ lợi cho sai số yêu cầu.
  • Khó: thiết kế P, PI và PD. Bạn chọn K cho một hệ số tắt dần, tìm độ vọt lố, thời gian đỉnh hoặc thời gian xác lập với một K cho trước, chọn hệ số PI hoặc PD bằng đồng nhất hệ số, hoặc tìm sai số dốc với bộ điều khiển PI.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Một vòng phản hồi đơn vị có hàm truyền vòng hở G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Tìm hằng số sai số gia tốc Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Tìm Ka

Hiện các gợi ý
  1. K_a = lim s²·G(s) khi s → 0.
  2. s² triệt tiêu cực kép tại gốc.
  3. Ka = 2·2/2.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối ess = lims→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) và Ka = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho ess = A/(1 + Kp), một tín hiệu dốc A·t cho A/Kv và một parabol A·t²/2 cho A/Ka. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.

Hằng số gia tốc

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Đáp số

Ka = 2
Ví dụ 2Trung bình
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Một vòng phản hồi đơn vị có G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Tìm độ lợi K cho sai số xác lập 2 % với đầu vào bước nhảy.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Tìm K

Hiện các gợi ý
  1. Với bước nhảy đơn vị e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối ess = lims→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) và Ka = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho ess = A/(1 + Kp), một tín hiệu dốc A·t cho A/Kv và một parabol A·t²/2 cho A/Ka. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.

Hằng số sai số yêu cầu

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Độ khuếch đại

K/10 = 49 → K = 490

Đáp số

K = 490

Cũng hãy kiểm tra sự ổn định của vòng kín: với vòng bậc hai này mọi K > 0 đều ổn định.

Ví dụ 3Khó
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Một bộ điều khiển tỉ lệ K = 8 điều khiển đối tượng G(s) = 5/(s(s + 2)) trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm thời gian xác lập 2 % ts của đáp ứng bước, dùng ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Tìm ts (s)

Hiện các gợi ý
  1. Đa thức đặc trưng là s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ bằng một nửa hệ số của s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Điều khiển P, PI và PID: bộ điều khiển C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s tác động lên sai số. Một độ lợi tỉ lệ làm vòng nhanh hơn và giảm sai số của đối tượng loại 0, nhưng không bao giờ loại bỏ nó. Thành phần tích phân thêm một cực tại s = 0: loại của hệ tăng thêm một, và một bước nhảy được bám theo không có sai số. Thành phần vi phân thêm sự cản. Để chọn các độ lợi, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζωns + ωn². Khi đó %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd với ωd = ωn√(1 − ζ²), và ts ≈ 4/(ζωn).

Đa thức đặc trưng

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ và ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Thời gian xác lập

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Đáp số

ts = 4 s

Thời gian xác lập ở đây không phụ thuộc vào K: tăng K chỉ làm đáp ứng dao động nhanh hơn.

Câu hỏi thường gặp

Sai số xác lập và điều khiển PID là gì?

Một vòng hồi tiếp so sánh lệnh r với đầu ra y và tác động lên sai số e = r − y. Lý tưởng thì đầu ra cuối cùng đúng bằng lệnh.

Thường thì không như vậy. Sau khi quá trình quá độ đã tắt, vẫn có thể còn một khoảng chênh: sai số xác lập ess.

Làm thế nào để giải bài tập Sai số xác lập và điều khiển PID từng bước?
  1. Đếm các cực của vòng hở C(s)·G(s) tại s = 0: đó là loại của hệ.
  2. Tính hằng số sai số khớp với đầu vào: Kp cho bước nhảy, Kv cho tín hiệu dốc, Ka cho parabol.
  3. Áp dụng ess = A/(1 + Kp), A/Kv hay A/Ka, hoặc giải nó theo độ lợi bạn cần.
  4. Với yêu cầu về độ cản hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Những lỗi thường gặp trong Sai số xác lập và điều khiển PID là gì?
  • Dùng A/Kp thay vì A/(1 + Kp) cho bước nhảy.
  • Quên độ lợi của đối tượng khi cân bằng hệ số: độ lợi vòng là K nhân độ lợi của đối tượng.
  • Bỏ qua bộ tích phân của bộ điều khiển khi đếm loại của hệ.
  • Mong rằng chỉ một độ lợi tỉ lệ sẽ loại bỏ sai số bước nhảy trong vòng loại 0.
Các bài tập Sai số xác lập và điều khiển PID bao gồm những gì?
  • Dễ: loại hệ thống và hằng số sai số
  • Trung bình: sai số xác lập và độ lợi
  • Khó: thiết kế P, PI và PD

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Sơ đồ khốiĐáp ứng bước

Các môn học có chủ đề này

Kỹ thuật điều khiển 1Kỹ thuật điều khiển 2: Thiết kế điều khiển hồi tiếpHệ thống cơ điện tửLuyện thi FE Điện và Máy tínhLuyện thi FE Cơ khí

Thêm chủ đề trong Điện

Điện trở nối tiếp và song songNguyên lý xếp chồngThévenin và NortonPhương pháp điện thế nútPhương pháp dòng điện mạch vòngQuá độ RC và RLTổng trở xoay chiều và phasorCông suất xoay chiều và hệ số công suấtCộng hưởng LC, hệ số Q và băng thôngCông suất ba phaMáy biến ápĐộng cơ một chiềuMạch khuếch đại thuật toánDiode và transistorBộ biến đổi DC-DCLogic số: cổng, bìa K và flip-flopCầu Wheatstone và cảm biến biến dạngThu thập dữ liệu và lấy mẫuBiến đổi LaplaceSơ đồ khốiĐáp ứng bướcBiểu đồ Bode và độ dự trữỔn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmTích chập và hệ LTI

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Sai số xác lập và điều khiển PID có đáp án
Luyện tập Sai số xác lập và điều khiển PID miễn phíLuyện tập Sai số xác lập và điều khiển PID ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.