Biểu đồ Bode và độ dự trữ: bài tập có lời giải từng bước
Bài tập Biểu đồ Bode và độ dự trữ miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: bộ lọc và đường tiệm cận, độ lớn và pha, các độ dự trữ ổn định.
Bài tập miễn phíDễ
Tìm tần số góc (−3 dB) fc của bộ lọc thông cao RC trong hình, với R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Cho theo Hz.
Đưa một sóng hình sin vào một bộ lọc hoặc bộ khuếch đại, và một sóng hình sin có cùng tần số đi ra. Chỉ hai thứ thay đổi: độ lớn và thời điểm của nó.
Độ lợi |H| là tỷ số giữa biên độ đầu ra và biên độ đầu vào. Pha φ là mức độ đầu ra bị lệch, tính bằng độ. Pha âm nghĩa là đầu ra trễ.
Cả hai phụ thuộc vào tần số. Một đồ thị Bode vẽ chúng theo tần số: độ lợi theo decibel ở trên, pha ở dưới. Trục tần số là logarit, nên mỗi thập niên (×10) có cùng độ rộng.
Decibel biến một tỷ số thành một số mà bạn có thể cộng:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
Độ lợi 1 là 0 dB, 10 là 20 dB, 100 là 40 dB, và 0,1 là −20 dB.
Độ lợi 1/√2 ≈ 0,707 là −3 dB. Đây là biên của dải thông của một bộ lọc.
Tự kiểm tra Một bộ khuếch đại có độ lợi 100. Độ lợi của nó theo decibel là bao nhiêu?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
Đáp số: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. Đáp án 20 dB dùng 10·log₁₀, dành cho tỷ số công suất, không phải điện áp. 2 chỉ là log₁₀(100).
2Bộ lọc bậc một
Một điện trở với tụ điện hoặc cuộn cảm tạo thành bộ lọc đơn giản nhất. Bộ lọc thông thấp cho tần số thấp đi qua và làm yếu tần số cao. Bộ lọc thông cao làm ngược lại.
Trong bộ lọc thông thấp RC (bên trái), đầu ra lấy trên tụ điện. Trong bộ lọc thông cao RC (bên phải), nó lấy trên điện trở. Với cuộn cảm, đầu ra của bộ lọc thông thấp lấy trên R, và của bộ lọc thông cao lấy trên L.
Sự thay đổi xảy ra quanh tần số cắt, nơi độ lợi là −3 dB. Nó giống nhau cho phiên bản thông thấp và thông cao:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc tính bằng rad/s và fc bằng Hz. Hãy đưa R, C và L về đơn vị cơ bản trước: Ω, F và H.
Đồ thị cho thấy một bộ lọc thông thấp. Dưới ωc độ lợi khoảng 0 dB. Trên đó độ lợi giảm 20 dB mỗi thập niên. Pha đi từ 0° đến −90° và là −45° tại tần số cắt.
Tại bất kỳ tần số nào, với tỷ số x = f/fc = ω/ωc:
Thông thấp: |H| = 1/√(1 + x²) và φ = −atan x.
Thông cao: |H| = x/√(1 + x²) và φ = 90° − atan x.
Ví dụ có lời giải
Tìm tần số cắt fc của bộ lọc thông cao RL với R = 470 Ω và L = 47 mH.
1
Đơn vị cơ bản
L = 47 mH = 0,047 H
2
Tần số cắt theo rad/s
ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3
Tần số cắt theo Hz
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Đáp số
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
Tự kiểm tra Một bộ lọc thông thấp RC có R = 1 kΩ và C = 1 µF. Tần số cắt fc của nó là bao nhiêu?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
Đáp số: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, nên fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 là ωc theo rad/s, không phải Hz. 6283 nhân với 2π, và 159 kHz quên chữ k trong kΩ.
3Đồ thị Bode đường thẳng
Với hàm truyền G(s) bạn có thể phác họa biên độ bằng các đường thẳng. Mỗi thừa số làm đổi độ dốc tại tần số cắt riêng của nó.
Một thừa số cực (s + p) ở mẫu số bẻ đường thẳng xuống 20 dB/thập niên kể từ ω = p trở đi.
Một thừa số không (s + z) ở tử số bẻ nó lên 20 dB/thập niên kể từ ω = z trở đi.
Một thừa số s ở mẫu số (một bộ tích phân) cho −20 dB/thập niên ở mọi tần số, và pha −90°.
Khi không có bộ tích phân, đồ thị bắt đầu phẳng ở độ lợi DC G(0), đổi sang dB.
Hình cho thấy G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, nên đồ thị bắt đầu ở 20 dB. Nó bẻ sang −20 dB/thập niên tại 10 rad/s và sang −40 dB/thập niên tại 100 rad/s.
Để tìm độ dốc trong một dải: bắt đầu với −20 dB/thập niên cho mỗi bộ tích phân, rồi cộng −20 cho mỗi tần số cắt của cực và +20 cho mỗi tần số cắt của không nằm dưới dải đó.
Tự kiểm tra G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Độ dốc của đồ thị đường thẳng giữa 5 và 50 rad/s là bao nhiêu?
0 dB/thập niên
−20 dB/thập niên
−40 dB/thập niên
−60 dB/thập niên
Đáp số: −40 dB/thập niên. Bộ tích phân cho −20 ngay từ đầu. Cực tại 5 cộng thêm −20, nên độ dốc là −40 giữa 5 và 50. Điểm không tại 50 đưa nó trở lại −20 trên 50. Đáp án −60 coi điểm không như một cực.
4Giá trị chính xác tại một tần số
Các đường thẳng chỉ là bản phác họa. Để có giá trị chính xác, thay s = jω. Mỗi thừa số (jω + a) là một số phức với:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
Độ lớn của G là tích các độ lớn ở tử số chia cho tích các độ lớn ở mẫu số. Pha là tổng các góc ở tử số trừ tổng các góc ở mẫu số.
Một mạch RLC nối tiếp với đầu ra trên R là bộ lọc thông dải. Nó cho các tần số gần tần số cộng hưởng ω₀ = 1/√(LC) đi qua. Băng thông là BW = R/L tính bằng rad/s, và hệ số phẩm chất Q = ω₀/BW.
Viết ra G(s) hoặc H(jω). Với bộ lọc RC hay RL, trước hết tìm ωc và tỷ số x = ω/ωc.
Với mỗi thừa số, tìm độ lớn √(ω² + a²) và góc atan(ω/a) của nó.
Nhân và chia các độ lớn. Cộng các góc của điểm không và trừ các góc của cực; một bộ tích phân cộng −90°.
Đổi độ lớn sang dB bằng 20·log₁₀.
Kiểm tra với bản phác đường thẳng: giá trị chính xác phải nằm gần nó, và thấp hơn 3 dB tại một tần số cắt đơn.
5Một ví dụ có lời giải
Đây là một câu hỏi trung bình điển hình. Hãy thử từng bước trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Một bộ lọc thông thấp RC có R = 10 kΩ và C = 100 nF. Một sóng sin 480 Hz được đưa vào. Tìm độ lợi |H| theo dB và độ lệch pha φ.
1
Tần số góc
Dùng đơn vị cơ bản: R = 10 000 Ω và C = 0,0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2
Tỷ số tần số
x = f/fc = 480/159,2 = 3,016
Đầu vào ở trên tần số cắt, nên kỳ vọng độ lợi giảm rõ rệt.
3
Độ khuếch đại
|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4
Pha
Bộ lọc thông thấp làm đầu ra trễ, nên pha âm.
φ = −atan(3,016) = −71,7°
5
Kiểm tra đáp án
Đường thẳng cho −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, gần với giá trị chính xác −10,0 dB.
Đáp số
|H| ≈ −10,0 dB và φ ≈ −71,7°.
6Lỗi thường gặp
Dùng 10·log₁₀ cho độ lợi điện áp. Độ lợi của tín hiệu dùng 20·log₁₀.
Nhầm ω và f. ωc = 1/(RC) tính bằng rad/s; chia cho 2π để có Hz.
Dùng L/R cho tần số cắt của RL. L/R là hằng số thời gian; tần số cắt là ωc = R/L.
Cộng các độ lớn như ω + a. Độ lớn của jω + a là √(ω² + a²).
Quên bộ tích phân: 1/s cho −20 dB/thập niên và −90° ở mọi tần số.
Đưa ra giá trị đường thẳng khi đề hỏi độ lớn chính xác.
Tự kiểm tra Độ lợi DC của G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) theo dB là bao nhiêu?
16,0 dB
32,0 dB
40 dB
52,0 dB
Đáp số: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, và 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB dùng 10·log₁₀. 40 là tỷ số, không phải dB. 52,0 dB quên đặt s = 0 ở mẫu số.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
Dễ: bộ lọc và tiệm cận. Tần số cắt của bộ lọc RC hoặc RL theo Hz hay rad/s, độ dốc của đồ thị đường thẳng trong một dải, hoặc độ lợi DC theo dB.
Trung bình: độ lớn và pha. Độ lợi theo dB hoặc pha của một bộ lọc tại một tần số cho trước, |G(jω)| hay ∠G(jω) chính xác của một hàm truyền, hoặc f₀, BW hay Q của bộ lọc thông dải RLC.
Khó: các biên dự trữ ổn định của một vòng L(s), chẳng hạn 85/(s(s + 5)) hoặc K/(s(s + a)(s + b)).
Ở mức khó bạn cần hai tần số. Tại tần số cắt độ lợi ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). Tại tần số cắt pha ω180, ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
Với L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) tần số cắt pha là ω180 = √(a·b). Một vòng ổn định khi cả hai biên dự trữ đều dương.
Tìm độ khuếch đại ở tần số thấp (DC) của G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) theo decibel, |G(0)| theo dB.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
Tìm |G(0)|(dB)
Hiện các gợi ý
Ở tần số rất thấp s → 0.
G(0) = 0,3.
20·log₁₀(0,3).
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ωc = 1/(RC) hoặc R/L, và fc = ωc/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) và φ = −atan(ω/ωc). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jωc). Tần số cắt pha ω180: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.
Độ lợi DC
G(0) = 0,3
Theo decibel
20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB
Đáp số
|G(0)| = −10,46 dB
Ví dụ 2Trung bình
bộ lọc thông thấp RC trong hình có R = 1 kΩ, C = 1 nF. Một tín hiệu vào hình sin 1600 kHz được đặt vào. Tìm độ lệch pha φ của vout so với vin, theo độ.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
Tìm φ(°)
Hiện các gợi ý
Tìm tần số góc trước: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10,05.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ωc = 1/(RC) hoặc R/L, và fc = ωc/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) và φ = −atan(ω/ωc). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jωc). Tần số cắt pha ω180: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.
Tần số góc
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05
Pha
φ = − atan(10,05) = −84,32°
Đáp số
φ = −84,32°
Ví dụ 3Khó
Một vòng hồi tiếp đơn vị có hàm truyền vòng hở L(s) = 185/(s(s + 5)). Tìm độ dự trữ pha PM theo độ.
Giải phương trình bậc hai theo x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ωc = 1/(RC) hoặc R/L, và fc = ωc/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) và φ = −atan(ω/ωc). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jωc). Tần số cắt pha ω180: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.
Tần số cắt biên
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s
Độ dự trữ pha
∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°
Đáp số
PM = 20,82°
Câu hỏi thường gặp
Biểu đồ Bode và độ dự trữ là gì?
Đưa một sóng hình sin vào một bộ lọc hoặc bộ khuếch đại, và một sóng hình sin có cùng tần số đi ra. Chỉ hai thứ thay đổi: độ lớn và thời điểm của nó.
Cả hai phụ thuộc vào tần số. Một đồ thị Bode vẽ chúng theo tần số: độ lợi theo decibel ở trên, pha ở dưới. Trục tần số là logarit, nên mỗi thập niên (×10) có cùng độ rộng.
Làm thế nào để giải bài tập Biểu đồ Bode và độ dự trữ từng bước?
Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ωc = 1/(RC) hoặc R/L, và fc = ωc/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) và φ = −atan(ω/ωc). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jωc). Tần số cắt pha ω180: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.
Những lỗi thường gặp trong Biểu đồ Bode và độ dự trữ là gì?
Đó là độ khuếch đại dưới dạng tỉ số. Hãy đổi: 20·log₁₀(0,3).
Với tỉ số điện áp hoặc tín hiệu, dùng 20·log₁₀, không phải 10·log₁₀ (dành cho công suất).
Đặt s = 0 trong mọi nhân tử: G(0) = 0,3, không phải 12.
Các bài tập Biểu đồ Bode và độ dự trữ bao gồm những gì?
Dễ: bộ lọc và đường tiệm cận
Trung bình: độ lớn và pha
Khó: các độ dự trữ ổn định
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.